极坐标系和参数方程

极坐标系和参数方程

参数方程

基本思想

一般的，参数方程都有如下形式：
$$x=g(t),y=h(t)$$
这里的g和h是已经给定的函数，其中t就是参数，一般地会在特定的区间，比如（a$\le$t$\le$b）中变化，这些方程描绘的参数曲线由平面上满足
$$（x,y）=(g(t),h(t)),a\le t\le b$$

参数抛物线

有如下形式
$$x=g(t)=2t,y=h(t)=\frac{1}{2}{t}^2-4,0\le t\le 8$$

参数圆

例如
$$x=4cos2\pi t,y=4sin2\pi t,0\le t\le 1$$

参数直线

把方程$x=x_0+at$,$y=y_0+bt$ 描绘成y = f（x）的形式

 

 

 

曲线的参数方程

也是我们需要掌握的内容就是把坐标方程或者图像的曲线参数化。

 

 

前定向&正定向

随着参数增加生成参数曲线的方向称为曲线的前定向或者正定向。

 

参数曲线的导数

设x=g(t)，y=h（t），这里的g和h在区间[a，b]上可导，则当$\frac{dy}{dx}\ne 0$时，
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{h^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}$$
如此，假设一个参数方程的参数为t，那我们就可以通过上公式求出此参数方程在t处的导数。

 

 

极坐标

在极坐标系中，原点称为极点，x-称为极轴，例如下图点p的极坐标形式为（r，$\theta$ ）,径向坐标r表示从原点到p点的距离，角坐标$\theta$表示始边为正x-轴，终点为过原地和p的射线之间的夹角。

 

直角坐标与极坐标的转换

有如下规则

若极坐标为（r，$\theta$）则其直角坐标为（x，y），其中
$$x=rcos\theta 和y=rsin\theta$$
若直角坐标为（x，y），则其极坐标为（r，$\theta$）,其中
$$r^2=x^2+y^2和tan\theta =\frac{y}{x}$$
通过如上公式，可以将直角坐标和极坐标进行相互转换。

 

 

极坐标方程的对称性

1.关于x-轴对称，如果点（r，$\theta$）在图像上，则点（r，-$\theta$）也在图像上。

2.关于y-轴对称，如果点（r，$\theta$）在图像上，则点（r，$\pi -\theta$）=(-r,-$\theta$)也在图像上。

3关于原点对称，如果说点（r，$\theta$）在图像上，则点（-r,$\theta$）=(r,$\theta$+$\pi$)也在图像上

 

 

 

 

极坐标微积分

切线的斜率

在极坐标中，我们可以把极坐标r=f（$\theta$），写成以$\theta$的参数形式：

其导数是
$$\frac{y}{x}=\frac{f^{\prime }(\theta )sin\theta +f(\theta )cos\theta }{f^{\prime }(\theta )cos\theta -f(\theta )sin\theta }=\frac{y^{\prime }(\theta )}{x^{\prime }(\theta )}$$
 

极坐标所围区域的面积

设R是由两条曲线$r=f(\theta )$和$r=g(\theta )$在$\theta$=$\alpha$和$\theta$=$\beta$之间所围成的区域。其中f和g在[$\alpha$,$\beta$]上是连续的，并且$f(\theta )\ge g(\theta )\ge 0$,则R的面积为
$${\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{2}(f(\theta {)}^2-g(\theta {)}^2)d\theta$$

通常地我们求一个极坐标图形围成的面积，可以从其对称性入手，例如四叶玫瑰，
$$r=f(\theta )=2cos2\theta (0\le \theta \le 2\pi )$$

1.我们首先观察它的对称性

其既关于x-对称也关于y-对称

2.我们可以按一部分进行运算

我们可以先计算半片叶子的面积然后乘八从而计算出它的总面积。

 

 

 

圆锥曲线

抛物线

抛物线是平面上到一定点（焦点）与到一定直线（称为准线）等距的点的集合。

 

 

四种标准抛物线方程

设p为实数，以（0，p）为焦点，y=-p为准线的抛物线关于y-轴对称且其为$x^2=4py$。如果p>0.则抛物线开口向上；如果p<0,则抛物线开口向下。

以（p，0）为焦点，x=-p为准线关于x-轴对称且其方程为$y^2=4py$,如果p>0,则抛物线开口朝右。如果p<0则抛物线开口向左。

 

 

经常地，我们会收到一个顶点和开口的方向，还有一个其所经过的点的抛物线方程。

 

 

椭圆

椭圆上有两个焦点，其中椭圆上所有的与两焦点的距离和都相等。

 

标准椭圆方程

中心在原点，焦点在（$\pm c$,0）处，顶点在（$\pm a$，0）处的椭圆方程是
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,其中a^2=b^2+c^2$$
中心在原点，焦点在（0，$\pm c$）处，顶点在（0，$\pm a$）处的椭圆方程是
$$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1，其中a^2=b^2+c^2$$
两种情况下都有a>b>0和a>c>0,长轴为2a，短轴为2b。

 

 

双曲线

标准双曲线方程

中心在原点，焦点在（$\pm x$,0）处，顶点在（$\pm a$,0）处的双曲线方程是
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2-a^2$$
该双曲线的渐近线是$y=\pm bx/a$

中心在原点，焦点在（0，$\pm c$）处，顶点在（0，$\pm a$）处的双曲线方程是
$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2+a^2$$
该双曲线的渐近线是$y=\pm ax/b$

两种情况都有c>a>0和c>b>0.

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2-a^2$$
该双曲线的渐近线是$y=\pm bx/a$

中心在原点，焦点在（0，$\pm c$）处，顶点在（0，$\pm a$）处的双曲线方程是
$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,其中b^2=c^2+a^2$$
该双曲线的渐近线是$y=\pm ax/b$

两种情况都有c>a>0和c>b>0.