2023/11/25 幂的末尾（快速幂，对齐输出）

 题目描述

幂 a^b的末 3 位数是多少？

 输入格式

两个正整数 a，b。1<=a<=100;1<=b<=10000

从高位到低位输出幂的末三位数字，中间无分隔符。若幂本身不足三位，在前面补零。

输入：2 3 输出：008；输入：7 2011输出：743

首先观察a，b的范围：1<=a<=100;1<=b<=10000。无法把a^b给计算出来。那么就有如下的思路。

由于取模运算的性质：

(a*b)%p=[(a%p)*(b%p)]%p.

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

2. (a - b) % p = (a % p - b % p ) % p （2）

3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

#include
#include
#include
using namespace std;

int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	int x=1;
	for (int i = 0; i < b; i++)
	{
		x *= a;
		x %= 1000;
	}
	if (x > 99)
	{
		cout << x << endl;
	}
	else if (x <= 99 && x > 9)
	{
		cout << "0" << x << endl;
	}
	else if(x<10)
	{
		cout << "00" << x << endl;
	}
		return 0;
}

然而这样的复杂程度仍然是O(b).所以我们要继续优化算法。

这个过程中，当我们的指数是偶数时，我们就把底数平方，指数/2.当指数是奇数时，我们就分一个原底数出来，再接着继续指数为偶数时的操作。这样大大减少了复杂度=O(log2b).将所有变量均定义为long long。

long long quickpow(long long a, long long b，long long p)
{
	if (b == 0)
	{
		return 1;
	}
	else if (b % 2==0)
	{
		return quickpow(a * a % p , b / 2);
	}
	else
	{
		return quickpow(a * a % p, b / 2) * a % p ;
	}
}

完整代码如下

#include
#include
#include
using namespace std;
long long quickpow(long long a, long long b)
{
	if (b == 0)
	{
		return 1;
	}
	else if (b % 2==0)
	{
		return quickpow(a * a % 1000, b / 2);
	}
	else
	{
		return quickpow(a * a % 1000, b / 2) * a % 1000;
	}
}
int main()
{
	long long a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << setfill('0')<

 s和a之间有7个空格，cout<<'s'<

setw()默认填充的内容为空格，可以setfill()设置其他字符填充。

cout<<'s'<

则输出：

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快速幂

题目描述

给你三个整数 a,b,p，求 a^b mod p。

输入格式

输入只有一行三个整数，分别代表 a,b,p。

输出格式

输出一行一个字符串 `a^b mod p=s`，其中 a,b,p 分别为题目给定的值， s 为运算结果。

样例输入 
2 10 9
样例输出 
2^10 mod 9=7

 

#include
#include
#include
using namespace std;
long long quickpow(long long a, long long b,long long p)
{
	if (b == 0)
	{
		return 1;
	}
	else if (b % 2==0)
	{
		return quickpow(a * a % p, b / 2, p);
	}
	else
	{
		return quickpow(a * a % p, b / 2, p) * a % p;
	}
}
int main()
{
	long long a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << quickpow(a, b, p) % p << endl;

	return 0;
}