数学，给孩子们留下什么？

　　数学学习究竟给孩子留下些什么？除了数学知识和技能，数学学习还能给孩子留下些其他的东西吗？著名的数学家波利亚曾统计，学生中学毕业后，研究数学或从事数学教育的人占1%，使用数学的人占29%，基本不用或很少用数学的人占70%。当然，这些统计数据现在或许会有所改变，但在现实生活我们可以看到，大部分人确实很少用书本上学的数学知识。为此，我们确实需要思考数学教育的目标和价值取向，即数学教育给孩子们留下什么？日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点：在学校学的数学知识，毕业后没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，惟有深深铭记在心中的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终身。因此，作为学生数学学习的初始阶段的小学数学，除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的数学知识的教学，更应该重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养，使数学学习给学生留下“意识”“思想”“经验”“习惯”“快乐”……，为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。

　　一、留下“意识”

　　数学意识是指遇到问题能够自觉地从数学的角度上进行观察和思考，能用数学去观察、解释、表示事物的数量关系和空间形式，形成一种数学化的思维习惯。举一个例子，学生会正确计算48÷4，说明掌握了除法的有关知识和技能；学生会用除法正确解答“有48个苹果，平均每人4个苹果，可以分给多少人”，说明学生具有一定的分析问题和解决问题的能力；而在体育课上，48位同学进行跳长绳活动，学生看到老师一共准备了四根长绳，他想到48÷4这个算式，说明学生不仅掌握了除法的有关基本知识和技能，而且数学意识也得到了较好的发展；又如学生到科技馆参观后说：“今天到科技馆的人真多，大约有300多人”，这样能把数量与事件结合起来，也说明具有一定的数意识。小学生的数学意识主要包括数意识、符号意识、统计意识、数学应用意识等。留下“意识”，就是让学生拥有数学眼光，具体地说，就是具有对客观世界中的数量关系和空间形式的敏锐感受力，能自觉地从数学的视角观察各种事物，善于在生活与数学间建立联系，面临问题时能较快地尝试用数学方法解决问题。如，在“关于校门口早晨、中午、傍晚三个时间段中，哪个时间段汽车流量最大”的统计活动中，教师把学生分成七个组，从星期一到星期日七天，每天一个组，让学生自己设计并进行统计，在用一定的方式表达当天三个时间段的车流量情况。学生在从事这一活动时将考虑如何收集数据、用什么图表来展示数据，能从这些数据中得到怎样的结论等，把自己的数据和结论与同伴进行交流。在这样的统计活动过程中，学生不仅掌握统计的一些基本方法，学生的统计意识也逐步得到发展。

　　二、留下“思想”

　　数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。一般认为，归纳思想和演绎思想是两种基本数学思想，而分类思想、对应思想、化归思想、转化思想、类比思想等是更具体化的数学思想。学生的数学思想的形成要经历积累感性认识，到逐步感悟、理解的过程。留下“思想”，就是说数学知识的学习过程要成为学生对数学思想的感性认识不断积累直至理解的过程。如，学习“乘法分配律”时，学生经历“生活原型——提出猜想——举例验证——归纳总结”的过程，学生通过 “3×（2＋4）＝3×2＋3×4”“32×（15＋25）＝32×15＋32×25”等大量的例子说明猜想的正确性，并归纳得出“a×（b+c）＝a×b＋a×c”的结论，在理解乘法分配律的同时，又一次积累了“归纳思想”的感性认识。再如，在学习圆柱体的体积计算方法时，可以先引导学生思考“我们学过长方体、正方体体积的计算方法，想一想，怎样计算圆柱的体积呢”，由于圆柱和长方体、正方体都是直柱体，学生容易通过类比提出“圆柱的体积计算方法也可能是‘底面积×高’”的猜想，再通过把圆柱通过“切、拼”转化为长方体，根据长方体体积的计算方法推导出圆柱体积的计算公式。这样的教学，学生经历了“类比猜想——验证说明”的过程，学生不再仅仅是学会正确计算圆柱的体积，而且又一次体会了“类比思想”、“化归思想”等数学思想。

　　三、留下“经验”

　　我们所说的“经验”主要指数学活动累积的数学经验，是学习者在参与数学活动的过程中形成和积累的过程性知识，具有动态的、隐性的和个性化等特点。“经验”在学生的数学学习过程中有着重要的作用，是学生理解数学知识，形成数学意识和数学思想的基础。没有亲历的数学活动就根本谈不上什么经验，留下“经验”，就要倡导学生“做数学”，让学生充分经历直观感知、观察发现、实践探索、空间想象、归纳类比、猜测验证、演绎证明等数学活动的过程。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的”。如，在上述“乘法分配律”的学习过程中，学生积累了归纳活动的活动经验。再如，在学习“长方体的认识”时，教师鼓励学生用多种方式进行探索长方体的特征，如把长方体剪开，然后用重叠等方法比较面的特点；用小棒或塑料吸管沿长方体的棱比一比、剪一剪，观察探索棱的特点；用尺量一量等方式研究棱的特点。学生在充分的数学活动中，不仅掌握了“长方体有6个面、12条棱、8个顶点，长方体相对的面相等”等数学知识，而且积累了从顶点、棱、面等不同角度研究立体图形的数学活动经验。

　　四、留下“习惯”

　　好的习惯会让人受益终身。叶圣陶先生说：“教育是什么，往单方面讲，只需一句话，就是要培养良好的习惯。”数学学习是形成良好学习习惯的重要途径。在数学学习中，除了培养学生形成预习、听课、作业、复习、质疑等常规的习惯外，更要注重培养学生形成“有条理地思考问题”的习惯、“言出有据”和“三思而后行”的习惯、“画图”分析问题等体现数学学科特点的习惯。如，学生在理解了 “等底等高的两个三角形面积相等”后，引导学生思考这个结论如果倒过来说是否正确，即“面积相等的两个三角形一定等底等高”是否正确，学生可以举例说明或在方格纸上画出两个三角形说明，如底3厘米、高6厘米和底9厘米、高2厘米的两个三角形面积相等，但不是等底等高。在这样的思辨与讨论中，逐步养成学生“言出有据”等习惯。再如，在解决问题中要培养学生形成“画图”的习惯，善于利用数形结合帮助分析和解决问题。

　　五、留下“快乐”

　　童年是快乐的，数学学习生活也应是快乐的。著名数学家陈省身也曾为少年儿童题词：“数学好玩”。如何让学生在数学学习中体验“好玩”，感受数学的无穷魅力和学习的快乐，从而对数学产生强烈的兴趣和求知欲，真正使数学学习成为一种乐趣、一种享受，这一点在小学阶段显得尤为重要。数学学习的快乐可以来自很多方面，可以在新颖的教学情境中感受快乐，可以在有趣的数学活动中体会快乐，可以在接受数学思维挑战、探索成功中体验快乐，也可以是教师幽默风趣的语言带来的快乐……。

　　作者：朱德江 浙江省嘉兴市南湖区教研室