DL Homework 11

由于好多同学问我要代码，但这两天光顾着考四六级了，所以只能今天熬夜先给赶出来，第一题先搁置，晚点补上，先写第二题

习题6-4  推导LSTM网络中参数的梯度， 并分析其避免梯度消失的效果

LSTM（长短期记忆）网络通过引入门控机制，解决了传统RNN中的梯度消失问题。

首先，我们给出LSTM单元的更新公式：

输入门（input gate）：

遗忘门（forget gate）：

细胞状态（cell state）更新：

输出门（output gate）：

隐藏状态（hidden state）更新：

其中， 表示当前时刻的输入，表示前一时刻的隐藏状态，表示前一时刻的细胞状态， 表示输入门的输出，表示遗忘门的输出， 表示当前时刻的细胞状态， 表示输出门的输出， 表示当前时刻的隐藏状态。

接下来，我们可以使用链式法则对参数的梯度进行推导。以权重 为例：

其中， 表示损失函数，表示序列的长度。

通过链式法则展开，我们可以得到：

其中， 表示 sigmoid 函数的导数。

类似地，我们可以推导其他参数的梯度。通过链式法则展开后，我们可以发现，在更新过程中，梯度会被乘以一个常数系数（即导数），这样可以避免梯度消失的问题。

另外，LSTM网络引入了输入门和遗忘门，它们决定了细胞状态中的信息如何更新和保留。输入门可以控制新输入的影响程度，遗忘门可以控制前一时刻细胞状态的保留程度。这种门控机制可以有效地调节梯度流动，避免了梯度消失或爆炸的问题。 并且遗忘门，输入门和输出门是非0就是1的，并且三者之间都是相加关系，梯度能够很好的在LSTM传递，减轻了梯度消失发生的概率，门为0时，上一刻的信息对当前时刻无影响，没必要接受传递更新参数了。

总结起来，LSTM能缓解梯度消失，其实主要是以下两点的结果：

        1.cell状态的加法更新策略使得梯度传递更恰当，使得梯度更新有可能大于1。

        2.门控单元可以决定遗忘多少梯度，他们可以在不同的时刻取不同的值。这些值都是通过隐层状态和输入的数据学习到的。

z​​​​​​​​​​​​​​【神经网络】LSTM为什么能缓解梯度消失_lstm如何克服梯度消失-CSDN博客

这篇博客是我看了这么多篇中，为数不多的比较好的，可以看一下 

习题6-3P  编程实现下图LSTM运行过程

 1. 使用Numpy实现LSTM算子

import numpy as np

x = np.array([[1, 0, 0, 1],
              [3, 1, 0, 1],
              [2, 0, 0, 1],
              [4, 1, 0, 1],
              [2, 0, 0, 1],
              [1, 0, 1, 1],
              [3, -1, 0, 1],
              [6, 1, 0, 1],
              [1, 0, 1, 1]])
# x = np.array([
#               [3, 1, 0, 1],
#
#               [4, 1, 0, 1],
#               [2, 0, 0, 1],
#               [1, 0, 1, 1],
#               [3, -1, 0, 1]])
inputGate_W = np.array([0, 100, 0, -10])
outputGate_W = np.array([0, 0, 100, -10])
forgetGate_W = np.array([0, 100, 0, 10])
c_W = np.array([1, 0, 0, 0])


def sigmoid(x):
    y = 1 / (1 + np.exp(-x))
    if y >= 0.5:
        return 1
    else:
        return 0


temp = 0
y = []
c = []
for input in x:
    c.append(temp)
    temp_c = np.sum(np.multiply(input, c_W))
    temp_input = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, inputGate_W)))
    temp_forget = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, forgetGate_W)))
    temp_output = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, outputGate_W)))
    temp = temp_c * temp_input + temp_forget * temp
    y.append(temp_output * temp)
print("memory:",c)
print("y     :",y)

 实验结果如下：

        这么一看答案是不是和要求一样，确实和要求一样，而且仿照李老师给的图写的代码，但是细心的同学就会发现，代码表达的模型和李老师展示的不一致，不能说不一致，而是按照一般的LSTM模型，候选状态需要由函数作为激活函数，而我们看李老师的图，再分别为的时候计算得到的输入值，这里记作,应该是3，并且通过激活函数后还是3，这里我们直接垮掉了，因此我经历了长达1小时的挣扎，但得到的答案五花八门，不太靠谱，不得已，抱着追求真理的想法，我去再次听了一遍李老师的手撕LSTM,李老师明确指出了，他将tanh激活函数，也叫做针对输入信息和当前隐​​​状态激活函数输出的激活函数修改了.

        老师是这么说的:input activate function是linear的，memory cell的activate function也是linear的，总结一句话，老师将tanh激活函数换为线性激活函数。所以可以通过输入3，输出也是3

并且将sigmoid的值域修改为【0，1】，只有两个值。与一般的LSTM模型有了细微的差距

邱老师的《神经网络与深度学习》

        但是通过搜索了大量资料我发现Pytorch不提供修改LSTMCell和RSTM的内部激活函数的端口，所以为了验证后面两个实验的正确性，我仿照一般的LSTM模型手写了一个检测版本如下：

import numpy as np

x = np.array([[1, 0, 0, 1],
              [3, 1, 0, 1],
              [2, 0, 0, 1],
              [4, 1, 0, 1],
              [2, 0, 0, 1],
              [1, 0, 1, 1],
              [3, -1, 0, 1],
              [6, 1, 0, 1],
              [1, 0, 1, 1]])

inputGate_W = np.array([0, 100, 0, -10])
outputGate_W = np.array([0, 0, 100, -10])
forgetGate_W = np.array([0, 100, 0, 10])
c_W = np.array([1, 0, 0, 0])


def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


temp = 0
y = []
for input in x:
    temp_c = np.tanh(np.sum(np.multiply(input, c_W)))
    temp_input = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, inputGate_W)))
    temp_forget = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, forgetGate_W)))
    temp_output = sigmoid(np.sum(np.multiply(input, outputGate_W)))
    temp = temp_c * temp_input + temp_forget * temp
    y.append(temp_output * np.tanh(temp))
# print(y)
outputs_rounded = [round(x) for x in y]
print(outputs_rounded)
# 感觉有点问题没用tanh函数啊

 实验结果如下：

2. 使用nn.LSTMCell实现

        当然看函数的用法肯定是官方文档原汁原味，但是排除像我这种英语不好的一看英语脑袋疼，我也发现了一个特别好的中译版的和官方文档内容完全一样。

PyTorch - torch.nn.LSTMCell (runebook.dev)

LSTMCell — PyTorch 2.1 documentation

Parameters

• input_size – 输入 x 中预期特征的数量
• hidden_​​size – 隐藏状态下的特征数量 h
• 偏差 – 如果 False ，则该层不使用偏差权重 b_ih 和 b_hh 。默认值： True

输入：输入，(h_0, c_0)

• 形状 (batch, input_size) 的输入：包含输入特征的张量
• h_0 形状为 (batch, hidden_size) ：包含批次中每个元素的初始隐藏状态的张量。

• c_0 形状为 (batch, hidden_size) ：包含批次中每个元素的初始单元状态的张量。

  如果未提供 (h_0, c_0) ，则 h_0 和 c_0 均默认为零。

输出：（h_1，c_1）

• h_1 形状为 (batch, hidden_size) ：包含批次中每个元素的下一个隐藏状态的张量
• c_1 形状为 (batch, hidden_size) ：包含批次中每个元素的下一个单元状态的张量

Variables:

• ~LSTMCell.weight_ih – 可学习的输入隐藏权重，形状为 (4*hidden_size, input_size)
• ~LSTMCell.weight_hh – 可学习的隐藏权重，形状为 (4*hidden_size, hidden_size)

• ~LSTMCell.bias_ih – 可学习的输入隐藏偏差，形状为 (4*hidden_size)
• ~LSTMCell.bias_hh – 可学习的隐藏-隐藏偏差，形状为 (4*hidden_size)

这里解释一下，对LSTMCell的模型进行变量初始化的时候，为什么大小为第一维度都为4 * hidden

具体来说，lstm_cell.weight_ih 被划分为以下四个部分（按行分割）：

1. Forget Gate 的权重：控制前一个隐藏状态中信息被遗忘的程度。这部分的权重用于计算是否要从前一个隐藏状态中丢弃哪些信息。
2. Input Gate 的权重：控制新的输入信息对当前隐藏状态的贡献程度。这部分的权重用于计算应该增加哪些新的信息到当前隐藏状态中。
3. Candidate Value 的权重：用于计算更新的候选值，它包含了可能添加到当前隐藏状态中的新信息。
4. Output Gate 的权重：控制当前隐藏状态对下一时刻输出的贡献程度。这部分的权重用于计算应该输出哪些信息给下一个时间步。

 总结的说就是将四个门的参数以行为单位同时封装在一个矩阵中了，其他参数的第一维向量也是如次的含义，ih和hh分别代表的输入层和各个门之间的参数，hh代表输出层与各个门之间的参数。

代码如下:

import torch
import torch.nn as nn


# 输入数据 x 维度需要变换，因为LSTMcell接收的是(time_steps,batch_size,input_size)
# time_steps = 9, batch_size = 1, input_size = 4
x = torch.tensor([[1, 0, 0, 1],
                  [3, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [4, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1],
                  [3, -1, 0, 1],
                  [6, 1, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1]], dtype=torch.float)
x = x.unsqueeze(1)
# LSTM的输入size和隐藏层size
input_size = 4
hidden_size = 1

# 定义LSTM单元
lstm_cell = nn.LSTMCell(input_size=input_size, hidden_size=hidden_size, bias=False)

lstm_cell.weight_ih.data = torch.tensor([[0, 100, 0, 10],   # forget gate
                                         [0, 100, 0, -10],  # input gate
                                        [1, 0, 0, 0], # output gate
                                        [0, 0, 100, -10]]).float()  # cell gate
lstm_cell.weight_hh.data = torch.zeros([4 * hidden_size, hidden_size])
#https://runebook.dev/zh/docs/pytorch/generated/torch.nn.lstmcell

hx = torch.zeros(1, hidden_size)
cx = torch.zeros(1, hidden_size)
outputs = []
for i in range(len(x)):
    hx, cx = lstm_cell(x[i], (hx, cx))
    outputs.append(hx.detach().numpy()[0][0])
outputs_rounded = [round(x) for x in outputs]
print(outputs_rounded)

实验结果:

和Numpy流程的结果一致，所以答案正确。 

3. 使用nn.LSTM实现

PyTorch - torch.nn.LSTM (runebook.dev)

LSTM — PyTorch 2.1 documentation

依旧是两个链接，个人建议点一下链接自己去看一下，个人感觉和RNN参数及其相似，RNN参数懂了，我感觉这个就没有难度。

Parameters

• input_size – 输入 x 中预期特征的数量
• hidden_​​size – 隐藏状态下的特征数量 h
• num_layers – 循环层数。例如，设置 num_layers=2 意味着将两个 LSTM 堆叠在一起形成 stacked LSTM ，第二个 LSTM 接收第一个 LSTM 的输出并计算最终结果。默认值：1
• 偏差 – 如果 False ，则该层不使用偏差权重 b_ih 和 b_hh 。默认值： True
• batch_first – 如果是 True ，则输入和输出张量提供为（batch、seq、feature）。默认： False
• dropout – 如果非零，则在除最后一层之外的每个 LSTM 层的输出上引入 Dropout 层，dropout 概率等于 dropout 。默认值：0
• 双向 – 如果是 True ，则成为双向 LSTM。默认： False
• proj_size – 如果是 > 0 ，将使用具有相应大小投影的 LSTM。默认值：0

输入：输入，(h_0, c_0)

• 形状 (seq_len, batch, input_size) 的输入：包含输入序列特征的张量。输入也可以是打包的可变长度序列。有关详细信息，请参阅 torch.nn.utils.rnn.pack_padded_sequence() 或 torch.nn.utils.rnn.pack_sequence() 。
• h_0 形状为 (num_layers * num_directions, batch, hidden_size) ：包含批次中每个元素的初始隐藏状态的张量。如果 LSTM 是双向的，则 num_directions 应为 2，否则应为 1。如果指定了 proj_size > 0 ，则形状必须为 (num_layers * num_directions, batch, proj_size) 。

• c_0 形状为 (num_layers * num_directions, batch, hidden_size) ：包含批次中每个元素的初始单元状态的张量。

  如果未提供 (h_0, c_0) ，则 h_0 和 c_0 均默认为零。

输出：输出，(h_n, c_n)

• 形状 (seq_len, batch, num_directions * hidden_size) 的输出：对于每个 t ，包含来自 LSTM 最后一层的输出特征 (h_t) 的张量。如果 torch.nn.utils.rnn.PackedSequence 作为输入，输出也将是压缩序列。如果指定 proj_size > 0 ，输出形状将为 (seq_len, batch, num_directions * proj_size) 。

  对于未包装的情况，可以使用 output.view(seq_len, batch, num_directions, hidden_size) 来区分方向，向前和向后分别是方向 0 和 1 。同样，在包装盒中，方向可以分开。

• h_n 形状为 (num_layers * num_directions, batch, hidden_size) ：包含 t = seq_len 隐藏状态的张量。如果指定了 proj_size > 0 ，则 h_n 形状将为 (num_layers * num_directions, batch, proj_size) 。

  与输出一样，可以使用 h_n.view(num_layers, num_directions, batch, hidden_size) 来分离层，对于 c_n 也类似。

• c_n 形状为 (num_layers * num_directions, batch, hidden_size) ：包含 t = seq_len 细胞状态的张量。

代码如下:

import torch
import torch.nn as nn


# 输入数据 x 维度需要变换，因为 LSTM 接收的是 (sequence_length, batch_size, input_size)
# sequence_length = 9, batch_size = 1, input_size = 4
x = torch.tensor([[1, 0, 0, 1],
                  [3, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [4, 1, 0, 1],
                  [2, 0, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1],
                  [3, -1, 0, 1],
                  [6, 1, 0, 1],
                  [1, 0, 1, 1]], dtype=torch.float)
x = x.unsqueeze(1)

# LSTM 的输入 size 和隐藏层 size
input_size = 4
hidden_size = 1

# 定义 LSTM 模型
lstm = nn.LSTM(input_size=input_size, hidden_size=hidden_size, bias=False)

# 设置 LSTM 的权重矩阵
lstm.weight_ih_l0.data = torch.tensor([[0, 100, 0, 10],   # forget gate
                                        [0, 100, 0, -10],  # input gate
                                        [1, 0, 0, 0],      # output gate
                                        [0, 0, 100, -10]]).float()  # cell gate
lstm.weight_hh_l0.data = torch.zeros([4 * hidden_size, hidden_size])

# 初始化隐藏状态和记忆状态
hx = torch.zeros(1, 1, hidden_size)
cx = torch.zeros(1, 1, hidden_size)

# 前向传播
outputs, (hx, cx) = lstm(x, (hx, cx))
outputs = outputs.squeeze().tolist()

# print(outputs)
outputs_rounded = [round(x) for x in outputs]
print(outputs_rounded)

输出结果如下:

总结

总的来说本次作业较为容易，关于梯度爆炸和梯度消失的问题，是每个模型都需要详细关注的，我感觉这篇博客写的还是不够详细(主要是我又被室友整病了，栓Q),详细的我会在身体情况允许的第一时间把近期几个大模型关于梯度爆炸梯度消失给归纳总结一下

【23-24 秋学期】NNDL 作业11 LSTM-CSDN博客

台大李宏毅机器学习——RNN | 碎碎念 (samaelchen.github.io)

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