洛谷：P1048 [NOIP2005 普及组] 采药（DP 背包01）

[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1\le T\le 1000$）和 $M$（$1\le M\le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】

• 对于 $30\%$ 的数据，$M\le 10$；
• 对于全部的数据，$M\le 100$。

【题目来源】

NOIP 2005 普及组第三题

思路：

本题很明显就是背包问题，即题目会给出背包的空间量，要求你在有限的空间的装到总价值量最大的东西。本题就是要求你在有限的时间采到草药的总价值最大。可以写两个for，第一个for表示当前正在考虑的物品，第二个for表示目前的背包空间量。我们可以正序递推，也可以逆序递推。还有一种优化最好的写法，可以缩小空间复杂度。

逆序递推代码：

#include 
using namespace std;
int n,vs;

int main() {
	cin >> vs >> n;
	vector<int> v(n+5);
	vector<int> w(n+5);
	vector<vector<int>> ans(n+5,vector<int> (vs+5));
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin >> v[i];
		cin >> w[i];
	}
	for(int i=n-1;i>=0;i--){//逆序递推，此时i不仅表示第几种物品，还涉及递归层次（由底往上），结果是最后得出的嘛
		for(int j=0;j<=vs;j++){
			if(j<v[i]){//如果小于的话，
				ans[i][j]=ans[i+1][j];
			}else{
				ans[i][j]=max(ans[i+1][j],ans[i+1][j-v[i]]+w[i]);;//都是+1，因为是最顶上的是由下面推出来的，所以是+1
			}
		}
	}
	cout << ans[0][vs];//答案在最上方
	return 0;
}

正序递推代码：

#include 
using namespace std;
int n,vs;

int main() {
	cin >> vs >> n;
	vector<int> v(n+5);
	vector<int> w(n+5);
	vector<vector<int>> ans(n+5,vector<int> (vs+5));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin >> v[i];
		cin >> w[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){//正序递推，此时i不仅表示第几种物品，还涉及递归层次（由顶往下）
		for(int j=0;j<=vs;j++){
			if(j<v[i]){//如果小于的话，
				ans[i][j]=ans[i-1][j];
			}else{
				ans[i][j]=max(ans[i-1][j],ans[i-1][j-v[i]]+w[i]);//都是-1，因为是最底下的是由上面推出来的，所以是-1
			}
		}
	}
	cout << ans[n][vs];//答案在最下方
	return 0;
}

最优化写法（省空间复杂度）：

#include 
using namespace std;
int n, vs, q;
int main() {
	cin >> vs >> n;
	vector<int> v(n + 5);
	vector<int> w(n + 5);
	vector<int> ans(1010);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i];
		cin >> v[i];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//i表示选的物品数量，所以如果这样写的话就不是逆序或者倒序问题，因为我们列举的是背包空间的情况
		for (int j = vs; j >= w[i]; j--) {//只有大于才能装，背包空间必须倒序，因为如果正序的话可以出现拿同一个物品的情况
			ans[j] = max(ans[j - w[i]] + v[i], ans[j]);
		}
	}
	cout << ans[vs];//因为一开始的vs会一直往下面跑，最返回现在的
	return 0;
}