不定积分-换元法

换元法最重要的作用是打开局面，在做积分题时，只要我们选择恰当的换元，就可以将复杂的积分变得非常简洁，尤其是在处理带有根式的积分时，常常会使用换元法。

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两类换元法：

（1）整体换元

（2）三角换元

（1）整体换元

 例题（1）

 使用整体换元。

 注意✨ （红线）本题换元之后，不需要将dx解出来，而应该直接分部积分。

例题（2）

 

例题（3）

解法二 ：之前在三角函数不定积分中提到过，我们宁愿分子很多项，也不愿分母很多项，因为分子很多项可以拆开。所以这个题可以进行分子有理化。

 例题（4）

解法一： 遇到这个题目，可以直接从加号处拆开，然后分别计算。

解法二：但是效率可能比较低。所以可以用分子有理化的方法打开局面。

 

 

 例题（5）

 注意‍‍‍️！！求导！（第一次错了！）

 （2）三角换元

若被积函数中出现了“√二次函数”，则一般采用三角换元，具体分为一下两种。

（1）若括号内没有一次项，只有常数项和平方项，则直接换元。

注意！不一定非要出现根号才三角换元。出现1/（1+x²）²的积分，可用x=tant，再用二倍角处理！

（2）若根号内含有一次函数，则需要对根号内的二次函数配方，消去一次项后，便转化为了上买的情况，然后换元即可！

例题（1）

 例题（2）

例题（3）

 最后化简：