0x22 深度优先搜索

0x22 深度优先搜索

深度优先搜索（DFS，Depth First Search），顾名思义，就是按照深度优先的顺序对“问题状态空间”进行搜索的算法。在0x00章中，我们多次把一个问题的求解看做对问题状态空间的遍历与映射。从本章起，我们可以进一步把“问题空间”类比成为一张图，其中的状态类比为节点，状态之间的联系与可达性就用图中的边来表示，那么使用深度优先搜索算法求解问题，就相当于在一张图上进行深度优先遍历。

深度优先搜索与“递归”和“栈”密切相关。我们倾向于认为“递归”是与递推相对的一种单纯的遍历方式，除了搜索之外，还有许多算法都可以用递归实现。而“深搜”是一类包括遍历形式、状态记录与检索、剪枝优化等算法整体设计的统称。

在研究深度优先搜索算法之前，我们先来定义该过程产生的“搜索树”结构。在对图进行深度优先遍历处于$x$点，对于某些边$(x,y)$，$y$是一个尚未访问过的节点，程序从$x$成功进入了更深层的对$y$的递归；对于另外一些边$(x,y)$，$y$已经被访问过，从而程序考虑其他分支。我们称所有点（问题空间中的状态）与成功发生递归的边（访问两个状态之间的移动）构成的树为一棵“搜索树”。整个深搜算法就是就基于该搜索树完成的——为了避免重复访问，我们对状态进行记录和检索；为了使程序更加高效，我们提前减除搜索树上不可能是答案的子树和分支，不去进行遍历。

我们在0x03节中使用递归实现的指数型、排列型和组合型枚举，其实就是深搜的三种简单的形式。与之相关的子集和问题、全排列问题、N皇后问题等都是可以用深搜求解的经典NPC问题。