多面体与球：2017年全国卷A题16

2017年全国卷A题16

16.如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为 . 为圆 上的点， 分别是以 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起 ，使得 重合，得到三棱锥. 当 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位∶）的最大值为 .

2017年全国卷A

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【解析】

本题长度单位统一用 , 在演算过程中省略单位。

如上图所示，记三棱锥的顶点为 .

记 中点为 ，并令 , 则

平面 , 是直角三角形，根据勾股定理有：

令

当 ;

当 ;

所以，当 时， 取最大值：.

结论：当 的边长变化时，所得三棱锥 的体积（单位∶）的最大值为 .

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【提炼与提高】

本题属于客观题中的压轴题。综合度较高。要点如下。

1）根据平面图制作直观图，并根据勾股定理和等腰三角形的性质，并出中间的小圆与三棱锥的高的联系。

2）应用函数思想，构造一个描述体积变化的函数，并写出解析式。

3）应用导数工具，求出这个函数的最大值，从而求出体积的最大值。

在解答过程中，我们没有把体积直接定义为函数 ，而是把体积公式中的关键部分定义为 . 这一做法也算是一个小技巧，需要注意一下。

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