指数函数与指数函数：2014年理数全国卷A题21

2014年理数全国卷A题21

设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为

（I）求 ;

（Ⅱ）证明∶ .

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【解答问题I】

定义域为

根据切线方程可得：

结论：

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【解答问题Ⅱ】

定义域为

等效于： , 又等效于：

记 ,

则

当 , 函数 单调递减；

当 , 函数 单调递增；

当 , 函数 取得 内的最小值

当 , 函数 单调递减；

当 , 函数 单调递增；

当 , 函数 取得 内的最小值

当

当

当

当

当

综上所述， 对 .

证明完毕.

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【提炼与提高】

两个函数可以进行加减乘除运算，这是构造新函数的常用方法；反之，在解题过程中，常常需要把一个复杂的函数拆解成两个或者多个函数。本题中，我们就将一个复杂函数拆成了两个函数的乘积。

函数 在 时取得极小值；且

函数 在 时取得极小值；且

指数函数、对数函数与正比、反比函数经过乘除运算后所构造出的新函数，在高考中十分常见，一定要重视.

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