球坐标旋转

　

  

球坐标是一种三维坐标。分别有原点、方位角、仰角、距离构成。 　　设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向 线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面 坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 　　r∈[0,+∞), 　　φ∈[0, 2π], 　　θ∈[0, π] . 　　当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面: 　　r = 常数，即以原点为心的球面； 　　θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； 　　φ= 常数，即过z轴的半平面。 　　与直角坐标系的转换: 　　1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:　 　　x=rsinθcosφ 　　y=rsinθsinφ 　　z=rcosθ 　　2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为: 　　r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2); 　　φ= arctan(y/x); 　　θ= arccos(z/r); 　　球坐标系下的微分关系: 　　在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为： 　　dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ 　　球坐标的面元面积是： 　　dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ 　　体积元的体积为： 　　dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ 　　球坐标系在地理学、天文学中有着广泛应用.在测量实践中，球坐标中的θ角称为被测点P（r，θ，φ）的方位角，90°－θ成为高低角。

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生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。 　　绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θ x 是 roll 角。 绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θ y 是 pitch 角。 绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θ z 是 yaw 角。

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三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。

     若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。  规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。

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