生物统计学 | Fisher精确检验

最近论文吃紧，本来想搞搞群体多样性的，无奈没时间，为了保持上我这个号残余的一点热乎气，今天晚上分享一篇8年前写的旧文，主要讲Fisher检验的，有些不尽如意的地方稍作了一点点修改，措辞、语句、参考文献等等。

0 导语

大约是2005年冬天，高中同学再写给我的信中说他挂了一科，并且自我安慰道：“不挂科怎么是完美的大学生涯呢？”
我那个时候还暗自庆幸自己，期末考试成绩时常游走于60-70分之间，但还没挂过。
也许是注定要有一个“完美”的大学生涯。
就是第二个学期，即2006年夏天，我终于完美了一把，《生物统计学》挂了。
具体原因不再赘述，反正呢，你要是说是我笨我是肯定不同意的。
通过了那次补考之后，不禁暗自庆幸，终于啊，可恶的“生物统计学“与我，不仅仅是它走它的阳关道，我过我的独木桥，而且两者之间再也不会有任何交集，即独立且互不相容。
然而，上天很会捉弄人，时至今日，我却喜欢上了生物统计学，这其中原因说来话长，这里也不再赘述，总之一句话：”我是爱《生物统计学》的，可是我挂科了，难道非要自绝于社会不可了么？”

深夜的508，何其寂静，没有群蚊肆虐，没有酷暑难当，真想在在整上一个通宵，无奈已经没了本科时代的那种白天考研备战，晚上浸淫世界杯的那种豪情，更无奈的是明天还要上班。
虽然快11点啦，但今天还是打算分享点东西再回窝睡觉。

1 超几何分布和奶茶

首先介绍一种离散概率分布——超几何分布：有N个样本，其中m个是不合格的。超几何分布描述了在该N个样本中抽出n个，其中k个是不合格样本的概率：

      

上式可如此理解：表示所有在N个样本中抽出n个的方式有多少；表示在M个样本中抽出k个的方式的总数；剩下来的样本都是及格的，而及格的样本有个，剩下的抽法便有种。两者相乘就表示抽出k个是无效的有多少种抽法，而除以抽法总数即就表示抽出的n个样本中有k个不合格样本的概率。

1935年的一个实验：伟大的Fisher得知一个女同事能够从口味分辨出下午茶的调制顺序，为了验证女同事是否在吹牛，做了一个有趣的实验：他调制了8杯茶，其中4杯先放牛奶，4杯先放茶，让女同事分辨，分辨的结果如下表：

事实上，根据小学数学知识，在已知了和这两个条件以后，b，c，d和n的值也就能求出来了，所以我们只需要计算在已发生的情况下a=3的概率（事实上选择a，b，c，d都可以得到同样的效果）：

接著我們可進一步的算出比表格中极端情況（ 在此指Fisher的同事猜得更加准确时） 的概率：

如果全部推测对，瞎猜得到这种结果的可能是1.4%，由于此概率小于0.05，属于小概率事件，而事实是小概率事件她都猜对了，说明她不是瞎猜的。
因此我們可以再計算出P值：

女同事如果是瞎猜的，那么她瞎猜得到这种结果的概率为24.3%，这个概率依然很高，不属于小概率事件，因此无法推测女同事不是胡乱猜的。
这个跟超几何分布有什么关系呢？哎，公式都一样的，往里代就是啦！
不过区别是，超几何分布是随机地抽取，但是本例的抽取是依据女同事的判断抽取，但一件事情由随机变成了有依据，那就需要利用P值来判断这种依据的可靠性啦。

2 一个实际案例

我们看一个实际的案例：
一般大众的猜测是：大学生节食的比比男生高。因此我们设定的虚无假设为H0：大学生与男生节食的比相同，对假设为Ha：大学生节食的比比男生高。

计算P值。

这里我不再说什么，因为P<0.01，所以大学生节食的比比男生高。

3 Fisher精确检验的基因组学应用

步入正题，涉及到基因组学的内容啦！
水稻项目统计了基因A位点变异与水稻是否易感稻瘟病的资料如下：

依上表，易感稻瘟病的样本中野生型似乎远比变异型为高，因此设定零假设为H0：基因型与稻瘟病易感性无关，备择假设为Ha：野生型更易感染稻瘟病。則我们可依上表中的资算出单边的p 值。

因为P<0.01，即基因A位点变异是有利突变。
业务线时代的我曾经想过下面几条，
Fisher精确检验的应用如下：
1.研究基因型与基因表达的关系：如SNP与其临近的基因表达上调/下调之间的关系
2.研究基因型与表型的关联性：如变异位点与相关性状的关系检验
3.研究表型与表型的关联性：如男性手指的长度与前列腺癌发病率的关系

PS：本文言语简陋，比较粗糙，但是已尽述我的理解。
这正如上衣半截袖，下面三五七分裤，拖鞋，一身终极杀人王火云邪神的装备，并非华丽的西装革履，——一看就知这是我们信息部的弟兄们的标准配置；也正如linux系统，一切皆为丑陋的命令行，虽然比不上windows那种高帅富的图形界面，但比之丑陋的0,1似乎好看多了。
本为自用笔记，弟兄们如果喜欢，欢迎拍砖探讨。

布莱特杨
2012年5月6日 22:49

备注
2012年5月6日首发于QQ空间《我爱统计学之Fisher精确检验》
2020年5月18日 发表于e媛微生态《生物统计学 | Fisher精确检验》