【组合数学】递推关系

1. 递推关系建立

给定一个数的序列 $f(0),f(1),...,f(n),...,$ 若存在整数 $n_0$ ，使当 $n\ge n_0$ 时,可以用等号（或大于号、小于号）将 $f(n)$ 与前面的某些项 $f(i)(0\le i<n)$ 联系起来，这样的式子称作递推关系
建立递推关系的步骤如下:

1. 找第 n 项与其前面最近几项的关系
2. 获得最前面几项的具体值，即初值

习题1、 n 位四进制数中，有偶数个 0 的序列共有多少个？
解: 设 $f(n)$ 表示 n 位四进制数中有偶数个 0 的序列，它可由两部分生成:
(1) 在 n −1位四进制数中有偶数个 0 的序列上再添一位非 0（即 1,2,3）的数，可产生$3f(n-1)$ 个
(2) 在 n −1位四进制数中有奇数个 0 的序列上再添一位 0，可产生 $4^{n-1}-f(n-1)$ 个
由加法原则$$f(n)=3f(n-1)+4^{n-1}-f(n-1)=4^{n-1}+2f(n-1)$$显然 $f(1)=3$ 所以构成带初值的递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=4^{n-1}+2f(n-1)\\ f(1)=3\end{array}$

习题2、 1×n 棋盘用红、白、蓝 3 种颜色着色，不允许相邻两格都着红色，求着色方案数
解: 设 $f(n)$ 表示满足条件的着色方案数。在该棋盘上着色，其方案可分成如下 2 类
(1) 第一个格子着白/蓝色，余下的是1x(n-1)的棋盘，它所满足条件的着色方案数是:$2f(n-1)$
(2) 第一个格子着红色，第二个格子着白/蓝色，余下1x(n-2)的棋盘，着色方案数是:$2f(n-2)$

故总的着色方案数为$\{\begin{array}{c}f(n)=2f(n-1)+2f(n-2)\\ f(1)=3,f(2)=8\end{array}$

给定递推关系：$$f(n)=c_1(n)f(n-1)+c_2(n)f(n-2)+...+c_k(n)f(n-k)+g(n)$$其中 $c_k(n)\ne 0$，则称该关系为$\{f(n)\}$ 的 k 阶线性递推关系
如果 $g(n)=0$ ， 则称之为齐次

2. 常系数齐次递推关系的求解

$$f(n)=c_1(n)f(n-1)+c_2(n)f(n-2)+...+c_k(n)f(n-k)$$
方程$$x^k-c_1{x}^{k-1}-c_2{x}^{k-2}-...-c_k=0$$是上述递推关系的的特征方程，它的 $k$ 个根 $q_1,q_2,...,q_k$（可能有重根）叫作该递推关系的特征根，其中 $q_i(i=1,2,...,k)$是复数。

定理 2.1：设 $q$ 是非零复数，当且仅当 q 是它的特征根， $f(n)=q^n$ 是递推关系的解

定理 2.2：如果 $h_1(n),h_2(n)$都是递推关系的解，$b_1$，$b_2$是常数，则$b_1{h}_1(n)+b_2{h}_2(n)$也是递推关系的解

定理 2.3：设$q_1,q_2,...,q_k$是递推关系的 k 个互不相等的特征根，$b_1$，$b_2$是常数，则 $f(n)=b_1{q}_1^n+b_2{q}_2^n+...+b_k{q}_k^n$ 是递推关系通解

习题3、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}f(n)=7f(n-1)-12f(n-2)\\ f(0)=2,f(1)=7\end{array}$

解: 先求这个递推关系的通解。其特征方程为 $x^2-7x+12=0$，解这个方程得 $$x_1=4,x_2=3$$所以通解为 $f(n)=c_1\cdot 4^n+c_2\cdot 3^n$
带入初值确定 $c_1,c_2$，得$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_2=2\\ 4c_1+3c_2=7\end{array}$
得 $c_1=1,c_2=1$
所以通解为 $f(n)=4^n+3^n$

习题4、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}f(n)=f(n-1)+9f(n-2)-9f(n-3)\\ f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2\end{array}$

解: 先求这个递推关系的通解。其特征方程为 $x^3-x^2-9x+9=0$，解这个方程得 $$x_1=1,x_2=3,x_3=-3$$所以通解为 $f(n)=c_1\cdot 1^n+c_2\cdot 3^n+c_3\cdot (-3{)}^n$
带入初值确定 $c_1,c_2,c_3$，得$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_2+c_3=0\\ c_1+3c_2-3c_3=1\\ c_1+9c_2+9c_3=2\end{array}$
得 $c_1=-\frac{1}{4},c_2=\frac{1}{3},c_3=-\frac{1}{12}$

所以通解为 $f(n)=-\frac{1}{4}\cdot 1^n+\frac{1}{3}\cdot 3^n-\frac{1}{12}\cdot (-3{)}^n$

定理 2.4：设$q_1,q_2,...,q_k$是递推关系的全部不同的特征根，其重数分别为 $e_1,e_2,...,e_t$$(e_1+e_2+...+e_t=k)$，则递推关系的通解为$$f(n)=f_1(n)+f_2(n)+...f_t(n)$$其中$$f_i(n)=(b_{i_1}+b_{i_2}n+...+b_{i_{e_i}}{n}^{e_i-1})\cdot q_i^n(1\le i\le t)$$

习题5、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}f(n)=3f(n-2)-2f(n-3)(n\ge 3)\\ f(0)=1,f(1)=0,f(2)=0\end{array}$

解: 先求这个递推关系的通解。其特征方程为 $x^3-3x+2=0$，解这个方程得 $$x_1=1,x_2=1,x_3=-2$$所以通解为 $f(n)=c_1\cdot 1^n+c_{2}n\cdot 1^n+c_3\cdot (-2{)}^n$
带入初值确定 $c_1,c_2,c_3$，得$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_3=1\\ c_1+c_2-2c_3=0\\ c_1+2c_2+4c_3=0\end{array}$
得 $c_1=\frac{8}{9},c_2=-\frac{2}{3},c_3=\frac{1}{9}$

所以通解为 $f(n)=\frac{8}{9}\cdot 1^n-\frac{2}{3}n\cdot 1^n+\frac{1}{9}\cdot (-2{)}^n=\frac{8}{9}-\frac{2}{3}n+\frac{1}{9}\cdot (-2{)}^n$

3. 常系数非齐次递推关系的求解

$$f(n)=c_1(n)f(n-1)+c_2(n)f(n-2)+...+c_k(n)f(n-k)+g(n)$$对应的齐次递推关系为$$f(n)=c_1(n)f(n-1)+c_2(n)f(n-2)+...+c_k(n)f(n-k)$$

定理 3.1：k 阶常系数线性非齐次递推关系的通解是递推关系的特解加上其相应的齐次递推关系的通解。即非齐次递推关系的解 = 特解 + 齐次方程通解

习题6、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}f(n)=4f(n-1)-3f(n-2)+3^n(n\ge 2)\\ f(0)=1,f(1)=2\end{array}$

解: 先求这个递推关系的通解。其特征方程为 $x^2-4x+3=0$，解这个方程得 $$x_1=1,x_2=3$$因为3是特征方程的一重根，所以该递推关系的非齐次特解为 $an{3}^n$。将其代入递推关系，得$$an{3}^n=4a(n-1)3^{n-1}-3a(n-2)3^{n-2}+3^n$$化简得 $a=\frac{3}{2}$，特解为 $f^{\prime }(n)=\frac{3}{2}n{3}^n$

而相应齐次递推关系的通解为 $f^{\prime \prime }(n)=c_1\cdot 1^n+c_{2}n\cdot 3^n$

通解为$$f(n)=f^{\prime }(n)+f^{\prime \prime }(n)=c_1+c_2\cdot 3^n+\frac{3}{2}n{3}^n$$带入初值确定 $c_1,c_2$，得$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_2=1\\ c_1+3c_2+\frac{9}{2}=2\end{array}$

得 $c_1=\frac{11}{4},c_2=-\frac{7}{4}$

所以通解为 $f(n)=\frac{11}{4}-\frac{7}{4}\cdot 3^n+\frac{3}{2}n{3}^n$

习题7、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}f(n)=f(n-1)+n^2\\ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=14\end{array}$

解: 先求这个递推关系的通解。其特征方程为 $x-1=0$，解这个方程得 $$x=1$$因为1是特征方程的一重根，所以该递推关系的非齐次特解为 $n^1(b_2{n}^2+b_1{n}^1+b_0)$。将其代入递推关系，得$$n^1(b_2{n}^2+b_1{n}^1+b_0)=(n-1)(b_2(n-1{)}^2+b_1(n-1)+b_0)+n^2$$比较系数可得$\{\begin{array}{c}{b}_1=-3b_2+b_1+1\\ b_0=3b_2-2b_1+b_0\\ 0=-b_2+b_1-b_0\end{array}$，解得$\{\begin{array}{c}{b}_0=1/6\\ b_1=1/2\\ b_2=1/3\end{array}$ 特解为 $$f^{\prime }(n)=n(\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})$$而相应齐次递推关系的通解为 $f^{\prime \prime }(n)=c_1\cdot 1^n$

通解为$$f(n)=f^{\prime }(n)+f^{\prime \prime }(n)=c_1\cdot 1^n+n(\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})$$带入初值确定 $c_1$，得 $c_1+1\cdot (\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6})=1$

得 $c_1=0$

所以通解为 $f(n)=n(\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

4. 迭代法（非常系数齐次递推关系）

但对于某些非线性的递推关系，不存在求解的公式，因此不能用上述方法。
碰到此类问题，不妨尝试用迭代归纳法来求解。

习题8、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}f(n)=(n+2)f(n-1)(n\ge 1)\\ f(0)=1\end{array}$

解: 由迭代法得
$$\begin{gathered} f(n)=f(n+2)f(n-1) \\ =(n+2)(n+1)f(n-2) \\ =(n+2)(n+1)nf(n-3) \\ =...=\frac{(n+2)!}{2}f(0)=\frac{(n+2)!}{2} \end{gathered}$$归纳法证明：当$n=0,f(0)=\frac{2!}{2}=1$ 上式成立
假设 $n=k$ 时成立，即 $f(k)=\frac{(k+2)!}{2}$。
对于$n=k+1$,$$f(k+1)=(K+1+2)f(k)=\frac{[(k+1)+2]!}{2}$$成立，所以$f(n)=\frac{(n+2)!}{2}$是原递推关系的解

4.1 将非齐次递推关系齐次化

习题9、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}f(n)=2f(n-1)+2^{n-1}\\ f(1)=3\end{array}$

解: 由上述递推关系可得 $f(n-1)=2f(n-2)+2^{n-2}$
由 $f(n)-2f(n-1)$ 可以消去常数项 $2^{n-1}$ 。

可得齐次递推关系 $f(n)=4f(n-1)-4f(n-2)$

即求解递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=4f(n-1)-4f(n-2)\\ f(1)=3,f(2)=8\end{array}$

4.2 将变系数递推关系常系数化

习题10、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}nf(n)+(n-1)f(n-1)=2^n\\ f(1)=2\end{array}$

解: 令$f(n)=\frac{h(n)}{n}$
可得到关于$h(n)$的常系数齐次递推关系$$\{\begin{array}{c}h(n)+h(n-1)=2^n\\ h(1)=2\end{array}$$其相应的特征方程的解为 $x=-1$ 齐次通解为 $h^{\prime }(n)=c_1(-1{)}^n$
该递推关系的非齐次特解为 $a{2}^n$ .将其代入递推关系得
$a{2}^n+a{2}^{n-1}=2^n$ 解得 $a=\frac{2}{3}$
非齐次特解为 $h^{\prime \prime }(n)=\frac{1}{3}{2}^{n+1}$
非齐次递推关系的通解为 $h(n)=h^{\prime }(n)+h^{\prime \prime }(n)=c_1(-1{)}^n+\frac{1}{3}{2}^{n+1}$
带入初值得 $c_1=-\frac{2}{3}$ 所以 $h(n)=\frac{2}{3}(2^n-(-1{)}^n)$
因此 $f(n)=\frac{2}{3n}(2^n-(-1{)}^n)$

4.3 将高次递推关系一次化

习题11、 求解递推关系 $\{\begin{array}{c}{f}^2(n)-2f(n-1)=0\\ f(0)=4\end{array}$

解: 对上述递推关系两边求对数，得 $2{\lg }_{}f(n)-{\lg }_{}2-{\lg }_{}f(n-1)=0$
令 $h(n)={\lg }_{}f(n)$ 可得一阶齐次递推关系 $2h(n)-h(n-1)={\lg }_{}2$

即求解递推关系$\{\begin{array}{c}2h(n)-h(n-1)={\lg }_{}2\\ h(0)=2{\lg }_{}2\end{array}$

则 $$\begin{gathered} h(n)=\frac{1}{2}(h(n-1)+{\lg }_{}2)=...=\frac{1}{2^n}\times 2{\lg }_{}2+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}){\lg }_{}2 \\ =(1+\frac{1}{2^n}){\lg }_{}2 \end{gathered}$$

因此，所求的递推关系 $f(n)=2^{(1+\frac{1}{2^n})}$

作业习题链接：作业 第三章 递推关系