[日记]LeetCode算法·二十六——二叉树⑥ 红黑树（插入与删除，附图）

承接上一篇AVL树AVL树，红黑树相较于AVL树，就相当于完全二叉树相当于AVL树，如何在性能退化和维护成本之间做出CS中经典的trade-off

红黑树的概念

相较于AVL树，通过平衡因子维护一个绝对平衡的二叉树，红黑树采用不严格平衡，从而减少了对树结构的调整，在大量IO的情况下有着更加优秀的性能。
红黑树是根据以下的性质定义，实现自平衡：

1. 节点是红色或者黑色
2. 根节点是黑色
3. 叶节点是黑色（这里的叶节点表示nullptr节点，而非一般的叶节点）
4. 每个红色节点的子节点都是黑色的（不能有连续的两个红色节点）
5. 从任意节点到其每个叶子的简单路径都包含相同数量的黑色节点（黑高一致）

这里需要注意的是，红黑树的叶节点并非左右子树都为nullptr的节点，而是nullptr节点。
其中相对关键的性质是性质4和性质5，通过这两条性质，我们就可以保证红黑树的搜索效率为O(logn)。

红黑树查询效率

为何通过以上的5条性质就可以保证红黑树的性能不会退化严重，依然可以维持在O(logn)，类似于AVL树，我们可以采用数学归纳法进行证明。
首先我们证明一个引理：
$$以任意节点x为根的子树中包含至少2^{bh(x)}-1个内部节点$$$$bh(x)为x的黑高，即从节点x出发到达一个叶节点的任意一条简单路径上黑色节点的数量(不包含x本身)$$

1. 当$bh(x)=0$时，$x$为叶子结点，以$x$为根节点的子树包含0个内部节点，结论成立。
2. 考虑一个高度为正值且有两个子节点的内部节点$x$。每个子节点的黑高为$bh(x)$或$bh(x)-1$，这取决于子节点本身是红色$bh(x)$还是黑色$bh(x)-1$。因此，以$x$为根节点的子树，至少包含$2^{bh(x)-1}-1+2^{bh(x)-1}-1+1=2^{bh(x)}-1个节点$，证明完毕。

另外根据性质4，我们可以知道:$$从根节点到叶节点的任意一条简单路径上至少有\frac{1}{2}的节点为黑色节点$$即黑高至少为高度的一半，因此，假设一个最糟糕的红黑树，其节点数为n，高度为h，则黑高$bh\ge \frac{1}{2}h$，根据引理，我们有$$n\ge 2^{bh(x)}-1\ge 2^{\frac{h}{2}}-1$$$$故h\le 2log(n+1)$$因此红黑树的查询效率为O(logn)。

红黑树的插入

红黑树查询与BST没有区别，在此关注红黑树的插入与删除，另外注明本文只关注节点N或父节点P位于左子树的情况，右子树的情况可以根据对称得到。
关于插入，我们可以明确的一点是，应该插入节点应为红色，因为插入红色节点不会影响性质5，即黑高不变。
在此我们列出插入节点的若干种情况，以及对应的处理方法。

1 插入节点N为根节点

此时，我们只需要将插入节点进行染色，红→黑即可，如图所示

2 插入节点N的父节点P为黑色

此时我们不需要进行任何操作，因为插入红节点不影响性质5，且父节点P为黑色不影响性质4。

3 N的父节点P为红色，且叔叔节点U也为红色

如图所示

此时违反了性质4，我们进行的处理如下:

• 将P和U染为黑色
• 将祖父节点G染为红色
• 下一步关注组父节点G，进一步递归判断

之所以需要递归判断，是因为G的父节点可能为红色，再一次违反性质4。

4 父节点P为红色，叔叔节点U为黑色，P为左孩子，N为右孩子

如图所示


注意，这里所对应的还有P为G的右孩子，N为P的左子树的对称情况，在此不再赘述。
我们对这种情况需要进行的处理为N、P左旋，下一步关注P节点。
此时左旋后，我们的红黑树依然违反了性质4，因此进一步关注节点P，并且通过情况5进行处理

5 父节点P为红色，叔叔节点U为黑色，P为左孩子，N为左孩子

如图所示


注意，这里所对应的还有P为G的右孩子，N为P的右孩子的对称情况，在此不再赘述。
此时我们的处理方法如下:

1. PG右旋
2. P染黑
3. G染红

通过以上步骤，我们发现，各个点位的黑高都没有发生变化，且去除了相邻的红色节点，因此完成了红黑树的调整。

红黑树插入总结

1. 找到插入的位置，将红色新节点N插入
2. 判断N是否是根节点，是的话，染为黑色，否则继续
3. 判断N的父节点是否为黑色，是的话，返回，否则继续
4. 判断N的叔叔节点是否为红色，是的话，将P、U染为黑，G染为红，N=G，进一步判断
5. 判断N所在的分支是否和P所在的分支不一致，不一致的话，则进行旋转，上升N，下降P，并归为一边，继续判断
6. 若P和N所在分支一致，则对P、G进行旋转，上升P，下降G，并交换P与G的颜色，返回

红黑树的删除

相比于插入，红黑树的删除也确实更加复杂。同样适用替换删除法，删除前驱或后继节点。
和AVL树一致，我们不关心最终删除的节点是否与想删除的一致，我们只关心被删除的节点，如果被删除的节点为红色，则较为简单，否则会比较复杂，我们将进一步的进行分析，同样地，以下分析依然基于N为左子树或P为左子树的情况，对称的情况不再赘述。
以下各节点的名字所代表的含义分别如下：

1. X为最终被删除的节点
2. N为替换X的节点
3. S为X的兄弟节点，替换后也就是N的兄弟节点
4. SL为S的左节点，SR为S的右节点
5. P为N的父节点
6. G为P的父节点，N的组父节点

1 删除节点X为红色

此时直接删除节点X，并用黑色的N节点（必然是黑色）替换，则不会影响性质4与性质5，是最为简单的一种删除情况。

2 替换节点N为根节点

替换后节点N为根节点，此时我们将节点N染色为黑色，相当于所有节点都去出了一个黑色节点，黑高一致，完毕。

3 S为黑，S右孩子为红，N为P的左孩子

如图所示，其中蓝色的P节点与SL节点，代表这些节点可红可黑。


之所以上来就考察如此复杂的情况，是因为这种情况可以通过一定操作完成删除的调整。同理，可以适用于N为右孩子，S左孩子为红的对称情况
具体操作如下:

1. P、S左旋
2. P与S交换颜色
3. SR染色为黑

让我们对删除前后的子树进行分析。

• 我们假设，$C(x)$为判断节点x是否为黑色的函数，若为黑色，则$C(x)=1$，反之，$C(x)=0$
• 删除前，$bh(G\to N)=G\to P\to X\to N=2+C(P)$，$bh(G\to SL)=G\to P\to S\to SL=1+C(P)+C(SL)$且$bh(G\to SR)=G\to P\to S\to SR=1+C(P)$
• 删除后，$G\to SL与G\to SR$不变，$G\to N$改变为$1+C(P)$
• 旋转后，$bh(G\to N)=G\to S\to P\to N=2+C(P)$，$bh(G\to SL)=G\to S\to P\to SL=1+C(P)+C(SL)$且$bh(G\to SR)=G\to S\to SR=1+C(P)$，因为S和P的对调与颜色互换，使得经过SL的黑高不变的同时，N的黑高+1，恢复到了删除前。而通过对SR的染色，弥补了S染为$C(P)$时的黑高减少，旋转前后根节点颜色不变，意味着不需要继续向上迭代。
• 旋转前后，针对之前的P和S来看，N侧的黑高+1

4 S为黑色，S左孩子为红，S右孩子为黑，N为P的做孩子

不再赘述对称情况，直接上图


操作如下：

1. SL、S右旋
2. SL染为黑色
3. S染为红色
4. 转入情况3处理

通过分析，旋转前后，不影响P到右子树任何叶节点的黑高。

5 S为红色，其余节点为黑色

如图所示


我们已经意识到在黑节点之中插入1个红节点，不会影响红黑树的定义，在这种情况下，我们面对S为红，其余为黑的操作如下：

1. P、S左旋
2. P染红
3. S染黑
4. 转入情况3或情况4

6 N、P、S、SL、SR全为黑

如图所示


我们需要做的是将S染红，将关注节点设为P。
相比于删除前，N和S的黑高同时下降1，P的左右子树保持了一致，即P满足红黑树定义，但经过P的路径，将比不经过P的路径黑高小1，这相当于P成为了替换节点，其父节点被删去的情况，因此根据P的父节点、兄弟节点进行进一步的判断，直到转入情况1或2或3。

7 P为红，N、S、SL、SR为黑

如图所示


此时我们交换P与S的颜色，S黑高减1，与N保持一致，相当于P的黑高减一，与情况6染色后情况一致，将关注节点设为P，进一步判断。

删除总结

分析了各种情况的删除，我们可以做一些简单的总结。

• 情况1、2、3，可以通过一定的处理，完成对红黑树的调整
• 情况4通过不改变黑高的方法，转换为了情况3
• 情况5通过不改变黑高的方法，转化为了情况3或4
• 情况6和7，通过改变另一侧的黑高，完成了P的子树调整，但过P和不过P产生了黑高的不一致，与P为替换节点的情况一致，需要对P进行进一步的判断
• 以上操作都建立在P或N为左子树情况，右子树情况进行对称即可。

总结

峣峣者易折，皎皎者易污。这句话用来形容AVL树、红黑树、最佳排序树实在再合适不过。
最佳的性质最容易破坏而难以保持，且“最佳”往往是一种全局性质，无法从局部进行把握和检查，一旦被破坏，也无法从局部调整恢复，这就是最佳排序树（这个的博客还没出）往往应用较少的原因。
而AVL树和红黑树则都是在检索效率和动态操作之间做出了取舍，纵观两者，其搜索效率性能都发生了常数级的退化，但同时也支持了局部的动态调整操作，两者的插入与删除均维持在O(logn)。而红黑树则是对检索效率的进一步放弃以及更加复杂的算法复杂度，换取了更少的旋转操作，无论是C++STL中的map，还是Java中的TreeMap底层都是红黑树的实现。
——2023.5.18