第4章：载波同步与锁相环仿真（1）

本人最近搞懂了锁相环MATLAB仿真的一些知识，于是先更新第4章——信号同步。

一、二阶锁相环的MATLAB代码实现

本科在学习通信原理的课程时，提到2PSK的相干解调，接收端需要一个和发送端同频同相的载波，才能进行相干解调。

书本上一般会考虑载波相位误差 $\phi$ 对相干解调性能的影响，会使得信噪比下降 ${\cos }^2\phi$ 倍。（思考几秒钟，想下为什么？）

你可能会想了，接收端有没有什么办法能估计出这个误差相位 $\phi$，从而避免这种信噪比的损失呢？

激动人心的时刻，锁相环表示他要出场了。

对，锁相环就是这么一种神奇的电路，能够产生出一个与到达接收端信号同频同相的载波信号。

注意，在这里你需要区分发送信号和到达接收端信号，这两者的频率和相位常常是不一样的。

这是为什么呢？

在无线通信，尤其是卫星通信中，是少不了多普勒频偏的。

奇怪的小问号来了，多普勒频偏是什么？

百度解释：多普勒频偏（Doppler Shift）是指当移动台以恒定的速率沿某一方向移动时，由于传播路程差的原因，会造成相位和频率的变化，通常将这种变化称为多普勒频偏。

通信协议中，会事先规定收发端的载波频率，比如发送端的载波频率是fc，若接收端采用相干解调，接收端的本原振荡器也会产生频率fc的载波。

上面我用的“到达接收端信号”这个词语，可能不是特别准确，我想表达的是接收端实际收到的信号，你结合多普勒频偏便可以理解了。

但是多普勒频偏 $\Delta f$ 到底偏了多少？这个值，接收端是不知道的。

对于接收端来说，接收端认为收到的信号频率是 $f_c+\Delta f$ 。此时若还想采用相干解调，依然需要同频同相的载波，便要把多普勒频偏 $\Delta f$估计出来。

那你可能忍不住会问了，接收机就是不纠正多普勒频偏会带来什么后果呢？（这问题我想了也特别久）

后果便是：星座图的旋转，这将对接收端的解调和判决造成非常大的困扰。

思考几秒钟，为什么？

一个复信号，对其乘以 $e^{j\Delta \theta }$ ，对应到星座图上，是对这个星座图进行逆时针旋转 $\theta$ ，而

$\Delta \theta =2pi\Delta ft$ ，随着时间的积累，星座图旋转的角度会越来越大，判决的时候若不将星座图顺时针旋转回来，判决便容易出错，慢慢体会。

那采用非相干解调，不就行了吗？

无论对于相干解调还是非相干解调都是要估计多普勒频偏的，原因同样是星座图的旋转。当然，这也与非相干解调算法的频偏容忍范围有关。非相干解调的MATLAB实现，我将在第六章解调算法中写。

既然上面已经说到了锁相环，我自己本科时候学习了《高频电子线路》课程，知道了模拟锁相环电路的工作原理，那到底在数字系统是如何实现锁相环的呢？

我在《数字锁相环的MATLAB实现》提供了初始版本的代码，后面我会将其应用于有多普勒频偏的2PSK相干解调。

二、锁相环经典书籍与材料

在讲解锁相环MATLAB代码实现之前，我先列举一下我所知道的锁相环经典书籍：

1、Gardner的《锁相环技术》，英文名是《Phaselock Techniques》，锁相环领域世界权威级教科书

2、西电出版社，郑继禹、张厥盛的《锁相技术》

3、郑继禹的《同步理论与技术》

以上三本书我都没完整看过，但遇到问题时，常翻阅。接下来说说我看过的材料：

1、《Fundamentals of Global Positioning System Receivers》的第8章，中文版本的西电杨俊、武奇生《GPS基本原理及其仿真》第6章与前者内容将近一致。

2、CSDN上《二阶数字锁相环仿真（内附MATLAB代码）》，也是一份非常不错的材料。

3、杜勇的《锁相环技术原理及FPGA实现》，这书的写作形式是博客，娓娓道来，总是能把我心中想问的问号说出来，非常不错。

4、蔡凡博士的博士毕业论文《卫星定时接收机的关键技术研究》，知网上可以下载，关于捕获和跟踪的内容比较全，需慢慢消化。

以上材料中对锁相环的原理讲解不错，均缺少MATLAB代码实现。

我现在想通信问题，会常想怎么在代码中实现。结合蔡凡博士的微信公众号“通信工程师专辑”有MATLAB代码，我将思考明白的原理和代码讲解如下。

《Fundamentals of Global Positioning System Receivers》的第8章，锁相环电路包括三部分：鉴相器、环路滤波器和压控振荡器。

经典的锁相环时域和s域图如下：

图1 经典锁相环时域图

${\theta }_i\left(t\right)$ 表示输入信号， ${\theta }_f\left(t\right)$ 表示压控振荡器的输出信号， $\sum {} $ 表示鉴相器， $k_0$ 是鉴相器增益，$\epsilon \left(t\right)$ 表示鉴相误差，所以有 $\epsilon \left(t\right)={\theta }_i\left(t\right)-{\theta }_f\left(t\right)$ 吗？

在这里一定要注意的是，实际在用鉴相器时， $\epsilon \left(t\right)$ 是关于 ${\theta }_i\left(t\right)-{\theta }_f\left(t\right)$ 这个相位差的函数，并不一定就等于相位差，这个要理解。

鉴相器的类型有很多种，之后结合代码讲解的时候会说到。

图2 经典锁相环的s域图

压控振荡器（VCO），顾名思义，是用电压来控制振荡器输出信号的相位，有：

${\omega }_2\left(t\right)={\omega }_0\left(t\right)+k_{1}u\left(t\right)$ （1）

${\omega }_0$ 是压控振荡器的固有振荡角频率，即没有输入控制电压时振荡角频率。

$k_1$ 是增益系数，模拟的振荡器是有线性控制范围的，超出范围后，就不呈现线性函数关系了。但由于我们采用数字实现，整个数字频率控制振荡器来讲，都一直是线性函数关系。

从图2中可以得出：

$V_c\left(s\right)=k_0\epsilon \left(s\right)=k_0[{\theta }_i\left(s\right)-{\theta }_f\left(s\right)]$ （2）

$V_0\left(s\right)=V_c\left(s\right)F\left(s\right)$ （3）

${\theta }_f\left(s\right)=V_0\left(s\right)\frac{k_1}{s}$ （4）

由以上三个式子，可以化简得到下面：

$H\left(s\right)\equiv \frac{{\theta }_f\left(s\right)}{{\theta }_i\left(s\right)}=\frac{k_0{k}_{1}F\left(s\right)}{s+k_0{k}_{1}F\left(s\right)}$ （4）

以上出现的“$\equiv$ ”均表示“定义为”，下同。也就是说，$F\left(s\right)$决定了整个锁相环的传输函数** [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传$H\left(s\right)$。

那我们怎么来衡量一个锁相环的工作性能好不好呢？一般会用三类信号对锁相环进行测试：

（1） 相位阶跃信号： ${\theta }_i\left(t\right)=u\left(t\right)$ ，即对应 ${\theta }_i\left(s\right)=\frac{1}{s}$

（2）频率阶跃信号： ${\theta }_i\left(t\right)=\Delta \omega t$ ，即对应 ${\theta }_i\left(s\right)=\frac{\Delta \omega }{s^2}$

（3）频率斜升信号： ${\theta }_i\left(t\right)=\frac{1}{2}R{t}^2$ ，即对应 ${\theta }_i\left(s\right)=\frac{R}{s^3}$

图3 各种类型环路的稳态误差

从图3可以看出，对于频率阶跃信号来说，一阶环的稳态误差不为0，因此一般不用一阶环路。三阶环路的复杂性比较高，不太好设计（我还没试过），所以综合来看，二阶环路用的比较多。

（这是郑继禹、张厥盛的《锁相技术》书籍中的图片，对于阶和型的命名，这张是正确的，读者明白就好了。）

$F\left(s\right)=\frac{1}{1+s{\tau }_1}$ 对应是RC积分滤波器， $F\left(s\right)=\frac{1+s{\tau }_2}{1+s{\tau }_1}$ 对应是无源比例积分滤波器， $F\left(s\right)=\frac{1+s{\tau }_2}{s{\tau }_1}$ 对应是理想二阶环，三者的 $F\left(s\right)$ 不一样。

由于RC积分滤波器、无源比例积分滤波器对于频率阶跃信号来说，稳态误差也不为0，因此常采用理想二阶环。

上面两图中出现了“阶”与“型”，这两个字是什么意思呢？

“阶”是环路开环传递函数总极点的个数，“型”在原点的极点个数。

先记住：决定环路稳态相差的不是环路开环传递函数总极点的个数——阶，而是在原点处的极点个数——型。

本文后面的代码实现，都将以理想二阶环路为例。

《Fundamentals of Global Positioning System Receivers》的第8章说到二阶环路时，一上来就写：

$F\left(s\right)=\frac{s{\tau }_2+1}{s{\tau }_1}$ （5）

我当时还想了想为什么？

然后看到杜勇的《锁相环技术原理及FPGA实现》及郑继禹、张厥盛的《锁相技术》，里面均详细介绍了RC积分滤波器，无源比例积分滤波器，理想二阶环的区别。因此，我们暂且先记住以上提到的部分结论即可。

有了 $F\left(s\right)=\frac{s{\tau }_2+1}{s{\tau }_1}$ ，代入 $H\left(s\right)$ ，可得到

$H\left(s\right)=\frac{\frac{k_0{k}_1{\tau }_{2}s}{{\tau }_1}+\frac{k_0{k}_1}{{\tau }_1}}{s^2+\frac{k_0{k}_1{\tau }_{2}s}{{\tau }_1}+\frac{k_0{k}_1}{{\tau }_1}}\equiv \frac{2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$ （6）

其中 ${\omega }_n=\sqrt{\frac{k_0{k}_1}{{\tau }_1}}$ ，叫做自然角频率， $\xi $ 是阻尼因子，后面会说到阻尼因子这个变量的值一般取多少。

环路噪声带宽如下：

$B_n={\int }_0^{\infty }\left|H\left(\omega \right)\right|df=\frac{{\omega }_n}{2}\left(\xi +\frac{1}{4\xi }\right)$ （7）

这个Bn在锁相环的参数设置中，是非常重要的一个量。

看了这么久公式，我们可能已经一脸懵逼了，甚至有点困倦了，回过头去不经思考：我们到底在干吗来着？

我们是要做锁相环的MATLAB代码实现，既然要实现数字系统，便就需要从连续域转到离散域。

那怎么从s域转到z域呢？

在本科的《数字信号处理》课程中，我们学习过IIR和FIR数字滤波器的设计方法，也伴随着有一些经典问题，比如IIR和FIR滤波器的区别？设计IIR滤波器，一般会讲脉冲响应不变法和双极性变换法，这两者的优缺点有哪些？

以上提到的问题，请读者思考几秒？（然后复习一下）

双极性变换法从s域到z域的映射公式如下：

$s=\frac{2}{t_s}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ （8）

其中 $t_s$ 是采样周期，代入上面的F(s)，则有 $F\left(Z\right)=C_1+\frac{C_2}{1-z^{-1}}$ （9）

$C_1=\frac{2{\tau }_2-t_s}{2{\tau }_1}$ （10）

$C_2=\frac{t_s}{{\tau }_1}$ （11）

所以环路滤波器等效如下：

图4 环路滤波器的z域图

模拟电路中的压控振荡器，在数字中用NCO（数字频率合成器）代替，这是为什么呢？

图5 NCO的数字化模型

注意到图片里面7-27，数字域NCO相当于相位累加器，代码实现中也可以观察到累加的过程。

有了 $N(z)=\frac{{\theta }_f\left(z\right)}{V_0\left(z\right)}\equiv \frac{k_1{z}^{-1}}{1-z^{-1}}$ ，得到下面

假设你已经认真阅读过上面的公式后，为什么大概率还是没有写出可以实现的MATLAB代码呢？

这是由于z变换后，具体的程序是采用迭代来实现。

因此，我们需要将之前的表达式转换成迭代式子，方可让程序进行进行计算。

我将结合图与公式，将以上提到的材料转化成迭代表达式，便是我的一点点贡献了。

环路滤波器的z变换图上图所示，假设鉴相器的输入是 $f(i)$ ，NCO的输出是 $fin(i)$ ，则有下列表达式：

$input=k_0\cdot error(i)=k_0\cdot \left(f(i)-fin(i)\right)$ （12）

$B\left(i\right)=k_0\cdot error(i)\cdot C_1+A(i)$ （13）

$A\left(i\right)=k_0\cdot error(i)\cdot C_2+A(i-1)$ （14）

由材料中已经给出的N（Z）公式：

$N(Z)=\frac{{\theta }_f\left(Z\right)}{V_0\left(Z\right)}=\frac{k_1{z}^{-1}}{1-z^{-1}}$ （15）

转化到时域，有： ${\theta }_f\left(i+1\right)-{\theta }_f\left(i\right)=k_1\cdot V_0\left(i\right)$ （16）

即 $fin(i+1)=k_1\cdot B\left(i\right)+fin(i)$ （17）

令 $k_0=k_1=1$ ，即可得到

for i = 2:length
    error(i) = f(i) - fin(i);
    A(i) = A(i-1) + error(i)*C2;
    B(i) = C1*error(i) + A(i);
    fin(i+1) = B(i) + fin(i);
end % end for i

以上这一段代码，是锁相环MATLAB代码的核心，后面都将以这段代码为基础进行仿真。

结合上面已经计算出来的：

$C_1=\frac{1}{k_0{k}_1}\cdot \frac{8\zeta {\omega }_n{t}_s}{4+4\zeta {\omega }_n{t}_s+{({\omega }_n{t}_s)}^2}$ （18）

$C_2=\frac{1}{k_0{k}_1}\cdot \frac{4{({\omega }_n{t}_s)}^2}{4+4\zeta {\omega }_n{t}_s+{({\omega }_n{t}_s)}^2}$ （19）

其中 $B_n$ 是等效噪声带宽， $t_s$ 是采样周期， $damp=\zeta$ 是阻尼因子，

$B_n=\frac{{\omega }_n}{2}\left(\zeta +\frac{1}{4\zeta }\right)$ （20）

图6 Bn=300,ts=1e-4时，二阶锁相环的跟踪性能

三、各参数对二阶数字锁相环的性能影响

在上面的代码中，可以调整不同的等效噪声带宽 $B_n$ 和采样周期 $t_s$ ，观察这两个参数对二阶锁相环跟踪性能的影响。

忍不住好奇问，那为什么$\zeta =0.707$ ，$k_0=k_1=1$？或者说，这三个参数对二阶锁相环的跟踪性能有什么影响呢？

先来理解一下“锁相环为什么能跟踪相位？”

继续来说，为什么$\zeta =0.707$？

相位裕度和增益裕度，伯德图等相关概念，本科的《模拟电子线路》，也叫《低频电子线路》讲到过，请读者自行百度或者复习之前课本哦，这就不展开说啦。

《锁相环技术原理及FPGA实现》中讲到：工程上为确保环路稳定，要求增益裕度大于等于6dB，相位裕度30度到60度。

那么 $k_0$ 、 $k_1$ 对二阶锁相环的性能有什么影响呢？

图片中的 $K_z$ 即是上面一直提的 $k_0{k}_1$。

上面的锁相环核心代码中，只用到了 $C_1$ 、 $C_2$ ，而$C_1$ 、 $C_2$均与 $t_s$ 、 $\xi $ 、 ${\omega }_n$ 、

$k_0$ 、 $k_1$ 有关，固定了$k_0$ 、 $k_1$ 、 $\xi $，而${{t_s}}$ 一般就是符号速率的倒数，后面代码将看到。

因此，调整噪声带宽Bn便是相当于调整 ${\omega }_n$ ，进而调整$C_1$ 、 $C_2$。

上面讲到了NCO是相位累加器的作用，下面结合MATLAB代码，从相位误差来看，锁相环是如何锁相的。

可以看到锁相环已经能够顺利对多普勒频偏进行补偿，产生同频同相的载波。

解释一下上面一段代码：

%%%%%%为了看到频差
    if(k>200) &&(k

这个用等差数列来解释就好理解，当锁相环已经处于同步态时：

$phase(2)-phase(1)=2pi\cdot \Delta f{t}_s$ （21）

所以也就有：

$\Delta f=\frac{phase(101)-phase(1)}{100\cdot 2pi\cdot t_s}$ （22）

至于为什么取100，其实取别的数也行。

对于二阶理想锁相环来说，只有时间足够长，都是可以同步上的。但在实际仿真中，我们是需要比较快的捕获并且跟踪上信号频率的。

这是为什么呢？（思考几秒？）

假设有10个符号过来，接收机在第8个符号时间才同步上，那么前几个符号在进行相干解调时，便没有提供同频同相的载波，判决便可能出错，因此希望尽可能快的同步上。

四、总结

每次写到1万字左右时，知乎后台编辑器便开始不流畅了，扎心了。于是，如何用锁相环对2psk信号进行相干解调的文章写到下一篇。

特别感谢微信公众号“通信工程师专辑”的蔡凡博士，本人虽学习兴趣浓厚，但能力有限，且缺少大型工程项目实践，不足甚至错误之处，真的在所难免，欢迎你批评指正。

也非常欢迎读者朋友就以上讲到的相关技术问题与我交流，一起学习，共同进步。请你也别忘了把这篇文章分享给你身边正在学习通信专业的同学们，也许能够帮到Ta。这是《陈老湿·通信MATLAB》仿真的第4章，期待下次更新见！