PH525x series - Exploratory Data Analysis

偏差、系统错误和未知的随机变量在生命科学领域的数据中非常常见，忽视它们会得出错误的结论，而绘图是一种处理这种问题的有力手段，这种对待数据的方式便是探索性数据分析（EDA）。

在单变量数据中，qq图是一种比较常见的绘图方法，那么接下来将首先对qq图进行一个详解。

• Quantile Quantile Plots

为了证实某种理论分布的效果，我们可以使用qq图进行验证。首先讲解一个概念：p-th percentile，其定义是：在某种分布中，若数值q大于该分布中%p的数值，那么q便是该分布的第p百分位数。比如，50-th百分位数便是中位数。

我们可以通过如下方式手动绘制qq图：

library(UsingR) ##available from CRAN
library(rafalib)
x <- father.son$fheight

ps <- ( seq(0,99) + 0.5 )/100 

#生成x的分位数
qs <- quantile(x, ps)

#求平均数为mean(x)，方差为popsd(x)的正态分布的各个分位数对应的Z-score
normalqs <- qnorm(ps, mean(x), popsd(x))

#绘图，x轴为Z-score（也就是如果身高为正态分布,各个分位上对应的具体身高），y轴则为实际的身高在各个分位上的具体数据
plot(normalqs,qs,xlab="Normal percentiles",ylab="Height percentiles")
abline(0,1) ##identity line

qqplot.png

上述代码其实可以直接用函数qqnorm和qqline替代：

qqnorm(x)
qqline(x)

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• Stratification（分层）

以Francis Galton中的父/子身高数据为例，如果只是想简单的概述它们，可以利用平均数与标准差（因为身高数据满足正态分布），但是这种描述遗漏了数据的重要特征。

library(UsingR)
data("father.son")
x=father.son$fheight
y=father.son$sheight
plot(x,y,xlab="Father's height in inches",ylab="Son's height in inches",main=paste("correlation =",signif(cor(x,y),2)))

scatterPlot.png

这种散点图展示出了该数据的一个大致趋势：父亲越高，儿子便越高。这种趋势便是相关系数，那么如何利用父亲的身高预测儿子的身高呢？一般情况下，我们会使用平均值来预测。但若父亲的身高是72 英寸，我们依旧使用均值来预测儿子的身高吗？可以看到，这位父亲比父亲的平均身高高1.75个标准差，那么是否可以认为儿子的身高也比儿子的平均身高大1.75个标准差呢？

为了回答这个问题，我们将父亲的身高进行分层（stratifying）分析：

#split函数：按照分组因子将y进行分组
#round函数：四舍五入
#本例中是按照父亲的身高对儿子的身高进行分组
groups <- split(y,round(x))
boxplot(groups)

print(mean(y[ round(x) == 72]))
## [1] 70.67719

boxplot.png

这种分层分析可以让我们看到每一组的身高分布，可以看出，当父亲身高是 72 英寸时，儿子的平均身高为 70.7 英寸。还可以看出，各个分组的中位数的趋势大致呈现出一条直线。这条线与回归线（regression line）类似，其斜率与相关性相关。

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• Bi-variate Normal Distribution（双变量正态分布）

满足如下表达式的一对随机变量（）被认为满足二元正态分布：

1574221574774.jpg

这个表达式看起来很复杂，但其概念却是相当简单的。上述表达式可以变成如下定义：固定的值等于，并观察所有的值。这种手段在统计学上被称为“exercise conditioning”，我们在固定的基础上分析：如果一对随机变量满足双元正态分布，若，无论为何值，那么都是满足正态分布的。此时：

这是一条以为斜率的直线，即回归线。若SD相同，那么这条回归线的斜率便等于。因此，若我们标准化和，回归线的斜率便是相关系数。

另外还可以通过构建来预测：若离均值一个SD远，那么便离的均值一个倍SD远。即：

原文对这个表达式有如下解释，但我并未理解，先占个位：

If there is perfect correlation, we predict the same number of SDs. If there is 0 correlation, then we don’t use x at all. For values between 0 and 1, the prediction is somewhere in between. For negative values, we simply predict in the opposite direction.

现仍以父子身高数据进行举例说明：

x=( x-mean(x) )/sd(x)
y=( y-mean(y) )/sd(y)
#按照父亲的身高，对儿子的身高进行分组，求均值
means=tapply(y, round(x*4)/4, mean)
#返回值的names为分组因子，故本步是获取父亲身高
fatherheights=as.numeric(names(means))
mypar(1,1)
plot(fatherheights, means, ylab="average of strata of son heights", ylim=range(fatherheights))
#绘制纵截距为0，斜率为相关系数的直线
abline(0, cor(x,y))

strata.png

• Variance explained（方差解释）

上述条件分布的标准差为：

即，解释了 百分之%的方差：如果的方差是，那么一旦进行条件限制，那么的方差便变为了。但要记得：“方差解释”这一说法只有在满足双元正态分布的数据中有意义。