抛物线和圆：2011年文科数学全国卷~20

抛物线和圆：2011年文科数学全国卷~20

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系 中，曲线 与坐标轴的交点都在圆 上.

（I）求圆 的方程;

（Ⅱ）若圆 与直线 交于 两点，且 ，求 的值.

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【解答第1问】

曲线与 轴的交点坐标为：, 记作点 . 曲线与 轴的交点及坐标可记作：.

由韦达定理可得：

线段 的垂直平分线方程为： , 圆心 在这条直线上，其坐标可设为：

因为 三点共圆，与圆心的距离相等；根据勾股定理可得方程：

圆 的方程为：

【解答第2问】

结论： .

【心得体会】

这是一个2011年的文科数学题，难度较低。

在第1问中，我们应用抛物线的对称性和垂径定理简化计算；在第2问中，综合应用韦达定理和向量方法，解决垂直问题。

第1问中，如果使用圆的标准方程，代入3个点的坐标再求参数，也是可以的，但计算量略大。

第2问中，除了向量方法，还有以下思路可供选择：勾股定理、两直线的斜率之积为-1.

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