Matlab函数最优化问题

前言

线性函数和非线性函数的区别在于它们的函数图像是否为一条直线。

线性函数的图像是一条直线，表示其中每个自变量的增量引起的因变量的增量是固定的。这意味着函数的图像是一个斜率为常数的直线，可以用y = mx + b的形式表示，其中m是斜率，b是y轴截距。

而非线性函数的图像不是直线，表示其中每个自变量的增量引起的因变量的增量不是固定的。这意味着函数的图像可能会是任何形状，例如，三角函数、指数函数和对数函数都是非线性函数。非线性函数不存在一个通用的一般表达式，而要根据函数本身的特性来确定。

因此，线性函数和非线性函数的主要区别在于它们是否遵循线性关系。

线性规划问题

线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x为解（实数向量或者实数数组）

fval为目标函数的值

f为目标函数

A,b为不等式约束，即Ax≤b

比如和

则那么b就等于来表示。

若没有约束条件，则A=[ ],b=[ ]来表示。

Aeq,beq为等式约束，

比如和

则还有

若没有约束条件，则和上面一样，用[ ],[ ]来表示。

lb和ub是指定x的范围即.

例如求目标函数的最小值

其中约束条件为x1,x2,x3≥0

x1-x2+x3≤20

3x1+2x2+4x3≤42

3x1+2x2≤30

编写程序如下

clear
f=[-25,-40,-61];
A=[1 -1 1;3 2 4;3 2 0];
b=[20;42;30];
lb=[0;0;0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)

实际应用 

某厂生产两种产品

产一吨甲产品用A资源 3吨、 B资源 4m^3 

产一吨乙产品用A资源 2 吨 、B资源 6m3 、C资源7个单位

一吨甲产品和乙产品分别价值7万元和5万元

三种资源分别限制为90吨、200m^3和210个单位

建立描述生产两种产品使总价值最高的线性规划数学模型？

目标函数z=7x1+5x2

条件约束3x1+2x2≤90

              4x1+6x2≤200

              0x1+7x2≤210

模型建立

	甲	乙	上限
A资源/吨	3	2	90
B资源/m^3	4	6	200
C资源/个	0	7	210
总价值/万元	7	5	目标max

clear
c=[7 5]; 
A=[3 2;4 6;0 7]; 
k=[90;200;210]; 
[x,z]=linprog (-c,A,k);
A=[x;-z]

即总价值最高是218万，当甲=14,乙=24的时候。

t特别说明linprog命令是用来求最小值的解

但是在我们生活当中比如这题要求最大值

所以必须要把目标函数加个负号才能用于此linprog命令。

是有点抽象，所以我画个图帮助大家理解

 比如求下面曲线的最大值

所以我们要把y变成负的，也就是关于x轴进行对称的函数

即得到-y(x)的图像如下

所以我们只要算出该函数的最小值，最后再给他加个负号回去即可得到最大值，

这也就是为什么 前面的题要加负号的原因。

非线性规划问题

顾名思义就是目标函数和约束条件都是非线性。

有约束的一元函数的最小值

 [x,fval] = fminbnd(fun,x1,x2)

 fun - 要计算最小值的函数
        函数句柄(标识符@) | 函数名称(字符串)
      x1 - 下界
        有限实数标量
      x2 - 上界
        有限实数标量

 x - 解
        实数标量

 fval - 解处的目标函数值
        实数

求函数在区间（1，10）的最小值，并画图。

clear
[x,fval]=fminbnd('5*cos(x)+x',1,10)
x1=1:0.1:10;
y=5*cos(x1)+x1;
plot(x1,y,'b',x,fval,'ro')

 多元函数

 无约束条件多元函数最小值

  [x,fval]= fminsearch(fun,x0)

 fun - 要计算最小值的函数
        函数句柄 | 函数名称
      x0 - 初始点
        实数向量 | 实数数组

 x - 解
        实数向量 | 实数数组
  fval - 目标函数的值
        实数

例如求函数的最小值点和函数值。

需要注意的是，要把y编写成x（2）

因为我们返回的x本身只有一个参数，且里面是一个数组形式的出现

否则会出现以下报错

clear
[x,fval]=fminsearch(@(x)2*x(1).^3+4*x(1)*x(2).^2-10*x(1)*x(2)+x(2).^2,[0 0])
%假设两个初值都为0，0

即f(x1,x2)=f(x,y)=f(1,1)时，最小值为f（1，1）=-3.

 [x,fval] = fminunc(fun,x0)

参数、语法和上面的fminsearch一样，这里就不解释了

初值一般设为[1,1]

例如求的最小值，z=f(x,y)

clear
fun='3*x(1)^4+4*x(1)*x(2)+x(2)^3';
x0=[1 1];
[x,fval]=fminunc(fun,x0)

fminunc和fminsearch区别

当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，

但是所选函数高度不连续时没使用fminsearch效果会更好。 

有约束条件的多元函数最小值

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x为解（实数向量或者实数数组）

x0为初值

fval为目标函数的值

fun为目标函数

A,b为不等式约束，即Ax≤b

比如和

则那么b就等于来表示。

若没有约束条件，则A=[ ],b=[ ]来表示。

Aeq,beq为等式约束，

比如和

则还有

若没有约束条件，则和上面一样，用[ ],[ ]来表示。

lb和ub是指定x的范围即.

若没有界，则可以用[ ]来表示。

nonlcon

其中nonlcon用来计算非线性的约束。

如非线性不等式约束C(x)≤0 和 非线性等式约束Ceq(x)=0.

需要通过指定函数句柄来使用。

指定函数之前需要建立M文件（非线性约束函数），并保存使用。

例如求下面非线性函数的最优解最小值（在初始点（0，1）处）。

其中约束条件为

                          

先建立mycon.m文件

因为第二个约束条件是非线性，所以先建立非线性约束函数。

function [c, ceq]=mycon(x)
c=(x(1)-1)^2-x(2);
ceq=[ ];

之后命令行输入

clear
fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)';
x0=[0 1];
A=[-2 3];
b=6;
Aeq=[];
beq=[];
lb=[];
ub=[];
[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)

求在初始点x=(10,10,10)处的最优解。

其中目标函数为

约束条件为

首先先把约束条件化为标准形式（Ax≤b)

clear
fun='-x(1)*x(2)*x(3)';
x0=10*ones(1,3);
A=[-1 -2 -2;1 2 2];
b=[0;72];
[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)