Matlab数据统计与分析

1.前言

概率分布是概率论和统计学中描述随机变量取值规律的概率模型。它是一个函数，将随机变量的每一个可能取值映射到一个非负实数，表示该取值出现的概率。

概率分布主要有两种类型：离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布是指随机变量取值是离散的，例如投掷骰子的结果（1-6）、抛硬币的结果（正面或反面）等。离散概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）来描述，PMF是一个非负实数函数，其自变量是离散随机变量的取值，函数值是该取值出现的概率。

连续概率分布是指随机变量取值是连续的，例如人的身高、体重、考试成绩等。连续概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function, PDF）来描述，PDF是一个非负实数函数，其自变量是连续随机变量的取值，函数值在该取值附近的概率密度。对于连续概率分布，我们通常关心的是其在某个区间内的概率，而不是某一个具体的取值。

常见的离散概率分布有：伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续概率分布有：正态分布、均匀分布、指数分布、卡方分布等。

 2.基本统计量

（1）均值

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warning off %不显示警告
x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
y=mean(x)%整个矩阵求均值
y1=mean(x(2,:))%求第二行的均值
y2=mean(x,1)%按列求均值。默认值也可以y2=mean(x)
y3=mean(x,2)%按行求均值
y4=mean(x,3)%矩阵本身

（2）中位数

median

此 MATLAB 函数 返回 A 的中位数值。 如果 A 为向量，则 median(A) 返回 A 的中位数
    值。 如果 A 为非空矩阵，则 median(A) 将 A 的各列视为向量，并返回中位数值的行向量。 

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x=[1 5 6 9 5 6 5 4 7 9];
sort(x)
median(x)

（3）方差

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x=[1 5 6 9 5 6 5 4 7 9];
x1=var(x)%方差
x2=sqrt(x1)%标准差

（4）峰度

正态分布的峰度值为0。

若峰度值大于0，则数据分布较正态分布更为陡峭，即呈现出尖峰形态；

若峰度值小于0，则数据分布较正态分布更为平坦，即呈现出扁峰形态。

峰度的绝对值越大，表示数据分布形态与正态分布的差异程度越大。
峰度在数据分析中有实际应用价值，例如在信号处理中，峰度可以用于分析异常信号，如齿轮副中的划痕、振动信号中破坏性尖峰的概率等。

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x=[1 5 6 9 5 6 5 4 7 9];
kurtosis(x)

 

 （5）偏度

偏度的取值范围为(-∞,+∞)

当偏度<0时，概率分布图左偏。

当偏度=0时，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布。

当偏度>0时，概率分布图右偏

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x=[1 5 6 9 5 6 5 4 7 9];
skewness(x)

3.常见概率分布函数 

  

分布类型	正太分布	指数分布	泊松分布	分布	韦布尔分布	分布	t分布	F分布
命令	norm	exp	poiss	beta	weib	chi2	t	F

分布命令字符  表1

函数类型	概率密度	概率分布	逆概率分布	均值与方差	随机数生成
命令	pdf	cdf	inv	stat	rnd

 函数命令字符   表2

当需要一种分布的某一类函数时

将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来

并输入 自变量 （可以是标量、数组或矩阵）和 参数 即可

比如正太分布＋概率密度=norm+pdf=normpdf

这就组成了  正态概率密度函数

 normpdf

- 正态概率密度函数
此 MATLAB 函数 返回标准正态分布的概率密度函数 (pdf)，在 x 中的值处计算函数值。

    语法
      y = normpdf(x)
      y = normpdf(x,mu)
      y = normpdf(x,mu,sigma)

    输入参数
      x - 用于计算 pdf 的值
        标量值 | 标量值组成的数组
      mu - 均值
        0 (默认值) | 标量值 | 标量值组成的数组
      sigma - 标准差
        1 (默认值) | 正标量值 | 正标量值组成的数组

    输出参数
      y - pdf 值
        标量值 | 标量值组成的数组

例如-画出正态分布 N(0,1) 和 N(0,4) 的概率密度函数图形进行比较

x=-6:0.01:6;%创建数组
y=normpdf(x);%根据x给的值输出新的值y，默认均值为0，方差为1
z=normpdf(x,0,2);%根据x给的值输出新的值z,均值为0，方差为4，标准差2
plot(x,y,x,z)%画图做对比

normrnd

正态随机数，r = normrnd(mu,sigma，m，n)生成mxn的随机矩阵，且all数服从均值为mu，标准差为sigma的正太分布。可以说有点类似rand

mu为平均数，sigma为标准差，m是行，n是列。

例如

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x=normrnd(0,1,10000,1);%均值为0，标准差为1，10000x1的随机数组
hist(x,50)%直方图绘画，分五十等分

注意：由于是随机数组，所以结果不一定和上面的图片一致，只要大致形状像正太分布就行。 

接下来我们尝试以下10000x3的数组会是什么效果

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x=normrnd(3,2,10000,3);%均值为3，方差为2
hist(x,50)

看不清？放大细节看看 

 chi2pdf

卡方分布，只有一个参数，即自由度v。

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x=0:0.01:12;
y=chi2pdf(x,3);%自由度为3
plot(x,y)

 

chi2rnd 

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x=chi2rnd(5,10000,1);%自由度为5的10000x1数组
hist(x,50)

 

 normcdf

概率分布p = normcdf(x,mu,sigma)

 x - 用于计算 cdf 的值
        标量值 | 标量值组成的数组
      mu - 均值
        0 (默认值) | 标量值 | 标量值组成的数组
      sigma - 标准差

 例如当mu=10,sigma=2时,计算P{8

4.正态分布参数估计 

  [muHat,sigmaHat] = normfit(x)

[muHat,sigmaHat,muCI,sigmaCI] = normfit(x)
[muHat,sigmaHat,muCI,sigmaCI] = normfit(x,alpha)

此命令在显著性水平alpha（默认值为0.05，可以不设置）下估计数据x的参数.

返回的值muhat为均值

sigmahat为标准差

muci为均值的波动范围（置性区间）

sigmaci为标准差的波动范围（置性区间）

例如某一组中学生的身高数据如下，计算他们的均值和标准差以及置性区间

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x=[167 179 168 170 173 175 165 169 177 176];%10个学生的身高
[a,b,c,d]=normfit(x)

摘要： 

显著性水平（Significance Level）是指在假设检验中，研究者设定的一个阈值，用于判断观察到的效应是否具有统计学意义。通常用希腊字母α表示。显著性水平的取值范围在0到1之间，最常用的显著性水平为0.05和0.01。

在假设检验中，如果观察到的效应大于或等于显著性水平，那么我们拒绝原假设，认为研究结果具有统计学意义。如果观察到的效应小于显著性水平，那么我们无法拒绝原假设，认为研究结果不具有统计学意义。

例如，如果我们设定的显著性水平为0.05，那么当观察到的效应大于或等于0.05时，我们拒绝原假设；当观察到的效应小于0.05时，我们无法拒绝原假设。

显著性水平的选择取决于研究者的风险偏好和对结果的期望。较高的显著性水平意味着需要更大的效应才能拒绝原假设，因此可能会漏掉一些真实效应；较低的显著性水平则意味着更容易拒绝原假设，但同时也可能增加假阳性错误的风险。

最后，其他分布参数估计

（1）[muhat, muci] = expfit(X,alpha)

──在显著性水平alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计.

（2）[lambdahat, lambdaci] = poissfit(X,alpha)

──在显著性水平alpha下，求泊松分布的数据X的参数的点估计及其区间估计.

（3）[phat, pci] = weibfit(X,alpha)

──在显著性水平alpha下，求Weibull分布的数据X的参数的点估计及其区间估计.

 5.假设检验

前提：服从正态分布的情况下使用

z检验

已知标准差的前提，用来检验均值。

  [h ，p,ci]= ztest(x,m,sigma，alpha,tail)

x为已知数据，m为假设的均值数据，sigma为已知的标准差。

tail = 0 ，检验假设“ x 的均值等于 m ”

tail = 1 ，检验假设“ x 的均值大于 m ”

tail =-1 ，检验假设“ x 的均值小于 m ”

默认tail=0，alpha=0.05.

输出的参数：

h 为一个布尔值， h=1 表示 可以拒绝假设 ， h=0 表示 不可以拒绝假设

p为假设成立的概率

ci 为均值的 1-alpha（默认95%） 置信区间。

例如下面这组数据是某个月份的油价，用z检验油价均值是否等于115。已知标准差为4.

119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118

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x=[119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118];
[h,p,ci]=ztest(x,115,4)%默认tail=0，alpha=0.05.

 

检验结果 :

1. 布尔变量 h=0 , 表示不拒绝零假设 . 说明提出的假设均值 115是合理的

2. p 值为 0.8668, 远超过 0.5, 不能拒绝零假设

3. 95% 的置信区间为 [113.4, 116.9], 它完全包括 115, 且精度很高

t检验

未知标准差的前提，用来检验均值。

[h，p，ci]= ttest(x,m,alpha,tail)

x为已知数据，m为假设的均值数据

tail = 0 ，检验假设“ x 的均值等于 m ”

tail = 1 ，检验假设“ x 的均值大于 m ”

tail =-1 ，检验假设“ x 的均值小于 m ”

默认tail=0，alpha=0.05.

输出的参数：

h 为一个布尔值， h=1 表示 可以拒绝假设 ， h=0 表示 不可以拒绝假设

p为假设成立的概率

ci 为均值的 1-alpha（默认95%） 置信区间。

例如下面这组数据是某个月份的油价，用z检验油价均值是否等于128。

118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125

clear
x=[118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125];
[h,p,ci]=ttest(x,128)

检验结果

1. 布尔变量h=1, 表示 拒绝零假设 . 说明提出的假 设油价均值128是不合理的.

2. 95%的置信区间为[102.0831 127.6169], 它不包括 128, 故不能接受假设.

3. sig值为0.0441, 远小于0.5, 不能接受零假设.