（扩展）欧几里得算法

• 又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数 (GCD, Greatest Common Divisor)，扩展欧几里得除了求出最大公约数，还找出相应的x，y（其中一个很可能是负数）(, 通常扩展欧几里得算法里我们使用的)
• 欧几里得算法
  • C++17中numeric头文件中已经包含了gcd这个函数: https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/gcd

  • int gcd(int a, int b) {
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
    }
    

• 扩展欧几里得算法
  • 贝祖等式（贝祖定理）：是一个关于最大公约数的定理，对任何整数a，b和它们的最大公约数d，方程有整数解当且仅当m是d的倍数（扩展欧几里得求逆元中我们取这个倍数为1，即m=d）

  • int egcd(int a, int b, int &x, int &y) {
        if (b == 0) {
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        int nx, ny;
        // b*nx + a%b*ny = q
        int q = egcd(b, a % b, nx, ny);
        //   a*x + b*y
        // = a*ny + b*nx - b*(a/b)*ny
        // = b*nx + (a - b*(a/b))*ny
        // = b*nx + a%b*ny
        // = q
        x = ny;
        y = nx - (a / b) * ny;
        return q;
    }
    

  • 这里如果q=1, 即上面求的x，y是对应了等式，可以求逆元

  • /**
     * @returns (x % b + b) % b where a*x + by = gcd(a, b)
    */
    int mod_inv(int a, int b) {
        int x, y;
        egcd(a, b, x, y);
        return (x % b + b) % b; // possible that x < 0
    }
    

• 扩展
  • 求最小公倍数lcm (c++17中的numeric头文件也已经有了lcm这个函数)
  • 有了最大公约数，求最小共倍数 (LCM, Least Common Multiple)就是: a * b / gcd(a, b)