矩阵快速幂&斐波那契数列

矩阵快速幂&斐波那契数列

矩阵快速幂：

1. 快速地求出斐波那契数列中的每一项
2. 可以快速地求出斐波那契数列的前n项的和

首先我们来看如何快速地求出斐波那契数列的第n项

1.快速求斐波那契数列的某一项

设$F_n=[f_n,f_{n+1}]$，构造这一个行向量，那么对于此，我们思考$F_n$乘一个什么样的矩阵可以得到$F_{n+1}$
显然：可以乘一个这样子的矩阵
然后我们对这个递推的操作一直乘矩阵A，就可以推出最终$F_n$的表达式：
即$F_n=F_0\ast A^n$，求出$F_n$之后，自然就得到$f_n$了！

2.快速求斐波那契数列的前n项和

法1

这个其实具体是一个推公式的过程，没有涉及到其他的东西，
设$S_n=f_0+f_1+f_2+...+f_n$
具体的公式为：
$S_n=f_{n+2}-f_1$ 注意在我规定的斐波那契数列中，是从第0项开始的，公式具体的推导如下：

因此若要求斐波那契数列的前n项和，只需要求出$f_{n+2}$即可，那么这个问题其实又回到了求斐波那契数列的第n项，这样来看就很简单啦！

法2

构造一个新的行向量，
设$F_n=[f_n,f_{n+1},S_n]$ ，这里的$S_n$就表示的是前n项的和，那么我们还是像开始一样思考一下如何构造矩阵，使得$F_n$可以通过递推来求得。很容易推导出矩阵A的形式应该为：

因此我们可以通过此递推得到：$F_n=F_0\ast A^n$
这样只要我们把$F_n$求出来，就可以得到结果啦！

习题1：1303. 斐波那契前 n 项和

[1303. 斐波那契前 n 项和 - AcWing题库]:

附上AC代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m;
const int N = 3;
int a[N][N] = {
    {0,1,0},
    {1,1,1},
    {0,0,1},
};
// 矩阵乘法：计算行向量 * 一个矩阵
void mul(int c[],int a[],int b[][N]){   // 计算 a[] * b[][]  -> 即:f1[] * a[][] 之后的值
    int tmp[N] = {0};    //  表示最后的答案数组
    
    for(int i = 0;i < N;i++){  // i表示答案的那一列
        // c[i] 表示的值应该等于 a中的每一个数 * b中第i列的那个数 的求和
        for(int j = 0;j < N;j++){  // j枚举的就是a中的每一个数
            tmp[i] = (tmp[i] + (LL)a[j] * b[j][i]) % m;
        }
    }
    
    memcpy(c,tmp,sizeof(tmp));
    
}
// 矩阵乘法：计算一个矩阵 * 一个矩阵
void mul(int c[][N],int a[][N],int b[][N]){
    int tmp[N][N] = {0};
    
    for(int i = 0;i < N;i++){
        for(int j = 0;j < N;j++){  // 枚举计算tmp[i][j]
            // 计算c[i][j]需要枚举的就是a[i][]的那一行的数 * b[][j]那一列的数
            for(int k = 0;k < N;k++){
                tmp[i][j] = (tmp[i][j] + (LL)a[i][k] * b[k][j]) % m;
            }
        }
    }
    
    memcpy(c,tmp,sizeof(tmp));
    
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    int f1[N] = {1,1,1};   // 表示的是  [f1,f2,S1]
    // Fn为向量
    // Fn = F1 * A^n-1  次幂
    LL k = n - 1;
    // 写快速幂
    while(k){
        if(k & 1) mul(f1,f1,a);   // f1[] = f1[] * a[][]
        k >>= 1;
        mul(a,a,a);        // a[][] = a[][] * a[][]  
    }
    
    cout << f1[2] << endl;
    return 0;
}

3.快速求斐波那契数列前n项的平方和

如何快速地求出$f_0^2+f_1^2+...+f_n^2$ 呢？
先给出结论：$f_0^2+f_1^2+...+f_n^2=f_i\ast f_{i+1}$
下面给出证明的过程：

其实只要知道了结论，具体做起题目来就简单多了！

习题2：斐波那契的秘密

http://csoj.scnu.edu.cn/problem/S0413

附上AC代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2,mod = 1e9+7;
int a[N][N] = {
    {0,1},
    {1,1},
};
int f0[N];
int backup[N][N];
int t;
int n;
int l1,r1,l2,r2;
void mul(int c[][N],int a[][N],int b[][N]){
    int tmp[N][N] = {0};
    for(int i = 0;i < N;i++){
        for(int j = 0;j < N;j++){
            for(int k = 0;k < N;k++){
                tmp[i][j] = (tmp[i][j] + (LL)a[i][k] * b[k][j]) % mod;
            }
        }
    }
    memcpy(c,tmp,sizeof(tmp));
}
void mul(int c[],int a[],int b[][N]){
    int tmp[N] = {0};
    for(int i = 0;i < N;i++){
        for(int j = 0;j < N;j++){
            tmp[i] = (tmp[i] + (LL)a[j] * b[j][i]) % mod;
        }
    }
    memcpy(c,tmp,sizeof(tmp));
}
LL F(int x){  // 求Fx   Fn = F0 * A^n次幂
    memcpy(a,backup,sizeof(backup));
    f0[0] = f0[1] = n;
    while(x){
        if(x & 1) mul(f0,f0,a);
        x >>= 1;
        mul(a,a,a);
    }
    return (LL)f0[0];
}
LL qmi(LL a,LL k,LL p){
    LL res = 1;
    while(k){
        if(k & 1) res =  res * a % p;
        k >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    cin >> n;
    int t;
    cin >> t;
    memcpy(backup,a,sizeof(a));
    while(t--){
        cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
        // cout << F(l1 - 1) << " " << F(l1) << " " << F(r1) << " "  << F(r1+1) << endl;
        // cout << F(r2 + 2) << " " << F(l2 + 1) << endl;
        LL fenzi = ((F(r1) * F(r1 + 1) % mod - F(l1 - 1) * F(l1) % mod) % mod + mod) % mod;
        // cout << "fenzi = " << fenzi << endl;
        LL fenmu = ((F(r2 + 2) - F(l2 + 1)) % mod + mod) % mod;
        // 然后求逆元
        LL fenmu2 = qmi(fenmu,mod-2,mod);
        // cout << "分母 = " << fenmu2 << endl;
        cout << fenzi * fenmu2 % mod << endl;
    }
    return 0;
}