双极限齐次性(二)、推导二阶非线性多智能体固定时间一致性协议(第一部分)

双极限齐次性(二)、推导二阶非线性多智能体固定时间一致性协议

0、相关定理引理

多智能体模型
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_i(t)=v_i(t)\\ {\dot{v}}_i(t)=u_i(t)+f(x_i,v_i)+d_i(t)\end{array}\end{array}$$
引理1 假设向量场在相关三元组 $(r_{\infty },{\sigma }_{\infty },{\psi }_{\infty })$ 与 $(r_0,{\sigma }_0,{\psi }_0)$ 的双极限上是齐次的。如果系统的原点是全局渐进稳定的，并且存在 ${\sigma }_{\infty }>0>{\sigma }_0$，那么系统的所有解可以在固定时间内收敛到系统的原点。

引理2 $L+B$ 为正定矩阵

引理3 ${\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{q}_{ij}{y}_i\varphi (z_i-z_j)=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{q}_{ij}(y_i-y_j)\varphi (z_i-z_j)$ 其中 $Q=[q_{ij}]$ 是一个对称矩阵，$\varphi (\cdot )$ 是一个奇函数

引理4 $x,y\in \mathbb{R}$，$k_1,k_2>0$，有$|x{|}^{k_1}|x{|}^{k_2}\le k_1/(k_1+k_2)|x{|}^{k_1+k_2}+k_2/(k_1+k_2)|y{|}^{k_1+k_2}$ 。

引理5 $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N p_i a_{ij} |x_i - x_j|^2 = x^T \hat L x $

引理6 $x^T \hat L x \ge K x^T x $ 其中 $K=\frac{||p|{|}_1^2}{N||p|{|}_2^2{\lambda }_2(\hat{L})}$ $p=(p_1,\dots ,p_N{)}^T$ 是图 $\mathcal{G}$ 权重向量, $L$ 是拉普拉斯矩阵， $\hat{L}=diag(p)L$

假设1 非线性函数 $f$ 满足下面的条件
$$|f(z_1,z_2)-f(z_1^{\prime },z_2^{\prime })|\le \rho (|z_1-z_1^{\prime }|+|z_2-z_2^{\prime }|)$$
其中$z_1,z_2,z_1^{\prime },z_2^{\prime }\in \mathbb{R}$，$\rho$ 是正常数

1、控制协议

设计控制协议如下
$$\begin{array}{rl}{u}_i(t)& =u_{1i}(t)+u_{1i}(t)+u_{1i}(t)\\ u_{1i}(t)& =-l_1\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil x_i-x_j{\rfloor }^{{\alpha }_1}-l_1\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil v_i-v_j{\rfloor }^{{\alpha }_1^{\prime }}\\ u_{2i}(t)& =-l_2\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil x_i-x_j{\rfloor }^{{\alpha }_2}-l_2\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil v_i-v_j{\rfloor }^{{\alpha }_2^{\prime }}\\ u_{3i}(t)& =-k\sum _{j=0}^N{a}_{ij}(x_i-x_j)-k\sum _{j=0}^N{a}_{ij}(v_i-v_j)\end{array}$$
其中 $q_1>0,l_2>0,k>0,0<{\alpha }_1<1,{\alpha }_1^{\prime }=2{\alpha }_1/(1+{\alpha }_1),{\alpha }_2>1,{\alpha }_2^{\prime }=2{\alpha }_2/(1+{\alpha }_2)$, 以及 $a_{i0}>0$ 如果智能体 $i$ 可以获取到leader的信息，定义 $B=diag(a_{10},a_{20},\cdots ,a_{N0})$。

$k\ge c/2+((3+4\rho )p_{max}+l_4)/(2K)$

$c\ge 2l_1/(1+{\alpha }_1^{\prime })+2l_2/(1+{\alpha }_2^{\prime })+((2\rho +1)p_{max}+l_3)/K$

$K=\frac{||p|{|}_1^2}{N||p|{|}_2^2{\lambda }_2(\hat{L})}$

2、证明

定义 $\tilde{x}_i = x_i - x_0, \tilde{v}_i = v_i - v_0, i = 1,2,3,\cdots,N $, 作为共识误差，可以得到 $x_i-x_j={\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j$ 。同时定义向量 $\tilde{x}=[{\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\cdots ,{\tilde{x}}_N{]}^T,\tilde{v}=[{\tilde{v}}_1,{\tilde{v}}_2,\cdots ,{\tilde{v}}_N{]}^T,z=[{\tilde{x}}^T,{\tilde{v}}^T],u=[u_1,u_2,u_3,\cdots ,u_N]$ 。

因此可以获得误差系统
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\tilde{x}}}_i={\tilde{v}}_i\\ {\dot{\tilde{v}}}_i=u_i+f(x_i,v_i)-f_0(x_0,v_0)\end{array}$$
整体的证明可以分为三部分，第一部分我们证明上述方程右侧矢量场在双极限上是齐次的，第二部分我们证明上述方程的0极限和1极限逼近系统是全局渐进稳定的，最后我们证明了整个闭环全局系统是渐进稳定的。根据引理1证明了系统可以在固定时间内收敛。

2.1、证明双极限齐次性

证明 $\psi (z)=({\tilde{v}}_1,\cdots ,{\tilde{v}}_N,u_1+f(x_1,v_1)-f(x_0,v_0),\cdots ,u_N+f(x_N,v_N)-f(x_0,v_0))\in {\mathbb{R}}^{2N}$ 是与相关三元组 $(r_{\infty },{\alpha }_2-1,{\psi }_{\infty })$ 与 $(r_0,{\alpha }_1-1,{\psi }_0)$ 双极限齐次的，其中 $r_{\infty }=(2,\cdots ,2,1+{\alpha }_2,\cdots ,1+{\alpha }_2)$ , $r_0=(2,\cdots ,2,1+{\alpha }_1,\cdots ,1+{\alpha }_1)$, ${\psi }_{\infty }=({\tilde{v}}_1,\cdots ,{\tilde{v}}_N,u_{21},\cdots ,u_{2N})$, ${\psi }_0=({\tilde{v}}_1,\cdots ,{\tilde{v}}_N,u_{11},\cdots ,u_{1N})$.

首先证明无穷极限
$$\psi ({\tilde{x}}_1,\cdots ,{\tilde{x}}_N,{\tilde{v}}_1,\cdots ,{\tilde{v}}_N)=({\tilde{v}}_1,\cdots ,{\tilde{v}}_N,u_1+f(x_1,v_1)-f(x_0,v_0),\cdots ,u_N+f(x_N,v_N)-f(x_0,v_0))$$

$$\psi ({\lambda }^{r_{\infty }})=\psi ({\lambda }^2{\tilde{x}}_1,\cdots ,{\lambda }^2{\tilde{x}}_N,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_1,\cdots ,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_N)$$

$$d_{\infty }=({\alpha }_2+1,\cdots ,{\alpha }_2+1,2{\alpha }_2,\cdots ,2{\alpha }_2)$$

先验证前 $N$ 项，之前是需要 ${\tilde{v}}_1$ ，现在经过一系列变换已经变成了 ${\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_1$ ，所以
lim ⁡ λ → 0 max ⁡ z ∈ C ∣ λ α 2 + 1 v ~ 1 λ α 2 + 1 − v ~ 1 ∣ = 0 \lim_{\lambda \to 0} \max_{z \in C} \left| \frac{\lambda^{\alpha_2+1}\tilde{v}_1}{\lambda^{\alpha_2 + 1}} - \tilde{v}_1\right| = 0 λ→0lim​z∈Cmax​ ​λα2​+1λα2​+1v~1​​−v~1​ ​=0
恒成立，第一个三元组也就验证成功了，也就是 $(2,{\alpha }_2+1,{\tilde{v}}_1)$，同理可得前 $N$ 个都是这样

再验证后 $N$ 项，其中
$$u_{1i}({\lambda }^2{\tilde{x}}_1,\cdots ,{\lambda }^2{\tilde{x}}_N,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_1,\cdots ,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_N)=-l_1{\lambda }^{2{\alpha }_1}\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil x_i-x_j{\rfloor }^{{\alpha }_1}-l_1{\lambda }^{({\alpha }_2+1){\alpha }_1^{\prime }}\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil v_i-v_j{\rfloor }^{{\alpha }_1^{\prime }}$$

$$\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\frac{u_{1i}({\lambda }^2{\tilde{x}}_1,\cdots ,{\lambda }^2{\tilde{x}}_N,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_1,\cdots ,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_N)}{{\lambda }^{2{\alpha }_2}}\to 0$$

同理可得
$$\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\frac{u_{2i}({\lambda }^2{\tilde{x}}_1,\cdots ,{\lambda }^2{\tilde{x}}_N,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_1,\cdots ,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_N)}{{\lambda }^{2{\alpha }_2}}=u_{2i}(z)$$

$$\underset{\lambda \to \infty }{\lim }\frac{u_{3i}({\lambda }^2{\tilde{x}}_1,\cdots ,{\lambda }^2{\tilde{x}}_N,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_1,\cdots ,{\lambda }^{{\alpha }_2+1}{\tilde{v}}_N)}{{\lambda }^{2{\alpha }_2}}\to 0$$

∣ f ( λ 2 x i , λ 1 + α 2 v i ) − ∑ j = 1 N p j f ( λ 2 x j , λ 1 + α 2 v j ) ∣ λ 2 α 2 ≤ ∑ j = 1 N p j ∣ f ( λ 2 x i , λ 1 + α 2 v i ) − f ( λ 2 x j , λ 1 + α 2 v j ) ∣ λ 2 α 2 ≤ ρ ∑ j = 1 N p j ( λ 2 ∣ x i − x j ∣ − λ 1 + α 2 ∣ v i − v j ∣ ) λ 2 α 2 → 0 \begin{aligned} & \frac{\left|f(\lambda^2 x_i, \lambda^{1 + \alpha_2} v_i) - \sum_{j=1}^{N}p_j f(\lambda^2 x_j, \lambda^{1 + \alpha_2} v_j) \right|}{\lambda^{2 \alpha_2}} \\ & \le \frac{\sum_{j=1}^{N}p_j |f(\lambda^2 x_i, \lambda^{1 + \alpha_2} v_i) - f(\lambda^2 x_j, \lambda^{1 + \alpha_2} v_j) | }{\lambda^{2 \alpha_2}} \\ & \le \frac{\rho\sum_{j=1}^{N}p_j (\lambda^2|x_i - x_j| - \lambda^{1 + \alpha_2} |v_i - v_j|)}{\lambda^{2 \alpha_2}} \to 0 \end{aligned} ​λ2α2​ ​f(λ2xi​,λ1+α2​vi​)−∑j=1N​pj​f(λ2xj​,λ1+α2​vj​) ​​≤λ2α2​∑j=1N​pj​∣f(λ2xi​,λ1+α2​vi​)−f(λ2xj​,λ1+α2​vj​)∣​≤λ2α2​ρ∑j=1N​pj​(λ2∣xi​−xj​∣−λ1+α2​∣vi​−vj​∣)​→0​

可以看出 ${\psi }_{i^{\prime }}$ 与三元组 $(r_{\infty },2{\alpha }_2,u_{2,i^{\prime }-N})$ 是无穷齐次的，其中 $i^{\prime }=N+1,\dots ,2N$.

因此证明向量场(vector field) $\psi$ 与三元组 $(r_0,{\alpha }_1-1,{\psi }_0)$ 零齐次，与三元组 $(r_{\infty },{\alpha }_2-1,{\psi }_{\infty })$ 无穷齐次。由于0齐次与无穷齐次证明一致，所以不需要再证明0齐次。

2.2、证明极限齐次是全局渐进稳定的

首先证明 $\dot{z}={\psi }_{\infty }$ 是全局渐进稳定的，考虑系统 $\dot{z}={\psi }_{\infty }$ 为
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{\dot{\tilde{x}}}_i={\tilde{v}}_i\\ {\dot{\tilde{v}}}_i=u_{2i}\end{array}\end{array}$$
选择李雅普诺夫函数
$$V=\sum _{i=1}^N{p}_i{\tilde{v}}_i^2+\frac{l_2}{1+{\alpha }_2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{p}_i{a}_{ij}|{\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j{|}^{1+{\alpha }_2}$$
求导可得
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\dot{V}& =2\sum _{i=1}^N{p}_i{\tilde{x}}_i{\dot{\tilde{v}}}_i+l_2\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{p}_i{a}_{ij}\lceil {\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j{\rfloor }^{{\alpha }_2}({\tilde{v}}_i-{\tilde{v}}_j)\\ & =2\sum _{i=1}^N{p}_i{\tilde{v}}_i\left(-l_2\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil {\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j{\rfloor }^{{\alpha }_2}-l_2\sum _{j=0}^N{a}_{ij}\lceil {\tilde{v}}_i-{\tilde{v}}_j{\rfloor }^{{\alpha }_2^{\prime }}\right)+l_2\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{p}_i{a}_{ij}\lceil {\tilde{x}}_i-{\tilde{x}}_j{\rfloor }^{{\alpha }_2}({\tilde{v}}_i-{\tilde{v}}_j)\\ & =-l_2\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{p}_i{a}_{ij}|{\tilde{v}}_i-{\tilde{v}}_j{|}^{1+{\alpha }_2^{{}^{\prime }}}\end{array}\end{array}$$
定义不变集 $\Omega =\{(x_1,\dots ,x_N,v_1,\dots ,v_N)|\dot{V}=0\}$ ，注意到当图为强链接时，$\dot{V}=0$ 暗含 $v_i=v_j=\bar{v}$，这意味着 $u_{2i}=u_{2j}$。$u_{2i}=-l_2{\sum }_{j=0}^N{a}_{ij}\lceil x_i-x_j{\rfloor }^{{\alpha }_2}$，更进一步，我们有 $p_i{a}_{ij}=p_j{a}_{ji}$，因此 ${\sum }_{i=1}^N{p}_i{u}_{2i}=0$, 那么下面的等式成立
$$0=\sum _{i=1}^N{p}_i{x}_i{u}_{2i}=-\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{p}_i{a}_{ij}{x}_i\lceil x_i-x_j{\rfloor }^{{\alpha }_2}=-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{p}_i{a}_{ij}\lceil x_i-x_j{\rfloor }^{1+{\alpha }_2}$$
因此我们有 $x_i=x_j=\bar{x}$, 根据拉塞尔不变性原理，$x_i-x_j\to 0$ $v_i-v_j=0$ 当 $t\to \infty$

由于 $\dot{z}={\psi }_0$ 的证明与上面类似，这里不在赘述

由于本文过长，拆分为两篇文章