统计学（1）-变异与抽样

我很喜欢的一部电影的对话：

阿甘的母亲：你听到我说的了吗， Forrest? 你跟其他人一样，并没有什么不同。
（到了学校后）
校长：你的孩子确实跟别人不一样。他的IQ 只有75 分。
阿甘的母亲：我们每个人都与众不同，先生。
------电影《阿甘正传》

为什么阿甘的母亲，刚开始讲阿甘没什么不同，后来又讲与众不同呢？
其实，我认为的第一个没什么不同，是指阿甘作为人，具有人的内核,这个内核是相同的，比如他有智商，有鼻子，有耳朵等等等等。
但是每个人为何又与众不同呢？因为具体到某个实例或者人的某个特征时候，比如眼睛，它的表型特征是不一样的，比如我的眼睛比较小，我老婆的眼睛就很大...
而正是这些表型的变异，成为了统计学存在的基础；也正是这些变异，导致了抽样误差。

1、随机与变异

什么是随机？当一件事情的结果你无法预料时，这就叫随机现象。
比如掷骰子实验，我们不能确定下次出现多大的点数。

由此，我们可以引申出随机变量这个概念!
比如，要研究收入与性别的关系，收入是一个随机变量。
（我们可能调查了1000 人的收入和性别信息，得到了1000 人的收入情况。但是，这1000 个值只是这一次调查中的结果。实际上，如果你重新调查1000 人，得到的就是另外1000 个收入值，所以收入并不一定，这也导致了随机变量的产生。）

2、抽样调查到底可不可靠？

要证明一种现象是不是真正的规律，需要在大量人群中进行验证。当然最好的办法就是调查地球上的所有人，证明在所有人中都存在这种规律。然而这过于理想化，不要说全世界，即使调查一个县的所有人都很难。

比如GWAS分析中，最好是找世界各地的代表性材料，才能更好的反应一个性状的变异程度，但是不可能把世界上的所有材料都收集起来做GWAS分析的。

其实这个时候，就可以用到抽样了！（我个人认为抽样真的是个技术活，取不好，满盘皆输。）
科学抽样，我认为不会偏离总体太多的，但是真正做到科学抽样又是极难的。比如民调，要考虑到各个阶层，你只做中产阶级的抽样，那么很抱歉，我估计统计学在美国总统竞选中将无意义。
但是不科学抽样，结果如何呢？
一个例子：
（在1936 年的美国大选中，民主党候选人罗斯福对战共和党候选人阿尔夫· 兰登。《文学文摘》当年邮寄出1000 万份问卷，回收230 万份，样本数量足够大了。经过分析后，他们预测共和党候选人阿尔夫· 兰登会战胜罗斯福当选总统。结果却是罗斯福获得了压倒性的胜利。）

为什么会出现这种结果呢？

原来《文学文摘》是按照电话号码本选出的这1000 万名调查对象，但在1936 年的美国，能装得起电话的往往是较富裕阶层、待保守立场的共和党选民，而支持罗斯福的广大工人群体基本被排除在调查范围之外，由此在样本上造成了极大偏差，从而导致结论的偏差。

而盖洛普调查公司只用了5 万样本就得出了完全相反的结果。因为他们采用了分层随机抽样方法，避免了样本来源集中某一群体，从而更客观地反映全体投票者的倾向。

有了一个代表性非常好的样本，是否就万事大吉？
显然不是，因为会有抽样误差！

3、什么是抽样误差

即使一个代表性非常好的样本，它也是无法真正等同于总体的，总会存在一定的抽样误差。

image.png

上图，我们从总体（36人）中随机抽取6人，就会发现，每次抽样，可能这6个人（作为一个样本）不尽相同，其身高均值自然也就不相同。
这种不同就是抽样误差。说得专业一些，样本统计量（ 这里就是样本均数）之间的差异就体现了抽样误差。如果抽了10 次样本，计算出10 个平均身高，那么这10 个平均身高（ 统计量）之间的差异就是抽样误差。
由于抽样误差的存在，如果用样本统计量直接估计总体参数，则肯定会有一定的偏差。所以在估计总体参数时需要考虑到这种偏差大小，即用置信区间(Confidence Interval)来估计总体参数。

例如， 一次抽样计算的平均身高是169cm, 但是抽样误差可能会有土2cm 的波动。所以在估计总体平均身高时，我们不会说总体的平均身高是169cm, 而是说，有一定的信心认为167~171cm这一区间包含了总体身高。

又有新问题产生了！
抽样误差的大小是如何计算的呢？
实际中不可能多次抽样，计算每个样本的统计量，然后计算各个统计量之间的差异。因此，只能通过一次样本来计算。统计学家推算出了一个公式，可以根据一次样本计算抽样误差的大小，这也就是标准误(Standard Error) 。标准误几乎在所有统计方法中都会出现，如t 检验、线性回归、Logistic 回归等，因为它可以提示结果的可靠性。如果标准误较小，则说明抽样误差小，这意味着样本很稳定，对总体的代表性很好，推论的结果应该较为可靠。但如果标准误较大，则说明抽样误差大，提示样本代表性不强，这种情况下一般需要加大样本量，否则结果不可靠。