级数@常数项级数@正项级数审敛法总结
文章目录
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- 级数定义
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- 敛散性
- 余部
- 级数的性质
- 基于定义的重要的基础级数模型
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- p级数
- 几何级数
- 正项级数收敛定理
- 审敛法
- 正项级数两大类审敛法的比较
级数定义
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设有数列 { u n } = u 1 , u 2 , ⋯ \set{u_n}=u_1,u_2,\cdots {un}=u1,u2,⋯
- 前 n n n项和为 S n = ∑ i = 1 n u i S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}u_i Sn=i=1∑nui
- 无穷级数: S = S ( u ) = lim n → + ∞ S n = lim n → ∞ ∑ i = i n u i S=S(u)=\lim\limits_{n\to{+\infin}}S_n =\lim\limits_{n\to{\infin}}\sum\limits_{i=i}^{n}u_i S=S(u)=n→+∞limSn=n→∞limi=i∑nui
- 简单理解是就是无穷个项累加和的 n → ∞ n\to{\infin} n→∞的极限
- 有时候,级数也直接简写作: S = ∑ i = 1 ∞ u i S=\sum\limits_{i=1}^{\infin}u_i S=i=1∑∞ui
敛散性
- 收敛:如果S存在,那么称级数收敛
- 发散:如果S不存在,那么级数发散
余部
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如果级数收敛于 S ( < ∞ ) S(<\infin) S(<∞),即, r n = S − S n r_n=S-S_n rn=S−Sn就是级数的余部
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lim n → ∞ r n = 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}r_n=0 n→∞limrn=0
- 由于 lim n → + ∞ S n = S lim n → ∞ r n = lim n → ∞ S − S n = lim n → ∞ S − lim n → ∞ S n = S − S = 0 由于\lim\limits_{n\to{+\infin}}S_n=S \\\lim\limits_{n\to{\infin}}r_n =\lim\limits_{n\to{\infin}}S-S_n =\lim\limits_{n\to{\infin}}S-\lim\limits_{n\to{\infin}}S_n =S-S=0 由于n→+∞limSn=Sn→∞limrn=n→∞limS−Sn=n→∞limS−n→∞limSn=S−S=0
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级数的性质
- 对于任意级数(不一定是正项级数)都有以下性质(这些性质根据级数的定义和收敛定义容易证明)
- 设 k k k为非零常数,则 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n} ∑n=1∞un与 ∑ n = 1 ∞ k u n \sum_{n=1}^{\infin}ku_{n} ∑n=1∞kun同敛散
- 若 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n} ∑n=1∞un, ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infin}v_{n} ∑n=1∞vn分别收敛于 A , B A,B A,B,则 ∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n ) \sum_{n=1}^{\infin}(u_{n}\pm{v_{n}}) ∑n=1∞(un±vn)= ∑ n = 1 ∞ u n ± ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n}\pm \sum_{n=1}^{\infin}v_{n} ∑n=1∞un±∑n=1∞vn收敛于 A ± B A\pm{B} A±B
- 即,两个收敛级数可以逐项相加也可以逐项相减,构成的级数仍然收敛
- 收敛级数之和仍然收敛
- 收敛级数和发散级数的和是发散的
- 发撒级数之和的可能收敛也可能发散
- 去掉或改变级数的有限项不影响级数的敛散性
- 收敛级数加括号后仍然收敛,且和不变
- 通过构造新数列来证明
- 设原级数为 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin} u_{n} ∑n=1∞un= u 1 + u 2 + ⋯ + u n + ⋯ u_1+u_2+\cdots+u_{n}+\cdots u1+u2+⋯+un+⋯,记其前 n n n项部分和为 s n s_{n} sn= ∑ n = 1 n u n \sum_{n=1}^{n} u_{n} ∑n=1nun,并设该级数收敛于 A A A
- 对该级数不改变各项次序而插入加括号(每个括号内包含至少一项,并使每个元素都位于某一个括号内)后得到另一新级数 ∑ n = 1 ∞ v n \sum_{n=1}^{\infin} v_{n} ∑n=1∞vn= ( u 1 + u 2 + ⋯ + u n 1 ) (u_1+u_2+\cdots+u_{n_1}) (u1+u2+⋯+un1)+ ( u n 1 + 1 + u n 1 + 2 + ⋯ + u n 2 ) (u_{n_1+1}+u_{n_1+2}+\cdots+u_{n_2}) (un1+1+un1+2+⋯+un2)+ ( u n 2 + 1 + u n 2 + 2 + ⋯ + u n 3 ) (u_{n_2+1}+u_{n_2+2}+\cdots+u_{n_3}) (un2+1+un2+2+⋯+un3)+ ⋯ \cdots ⋯
- 第 i i i个括号记为 v i v_i vi= ∑ k = 1 n i u k \sum_{k=1}^{n_i}u_{k} ∑k=1niuk
- 记新级数前 n n n项部分和为 σ n \sigma_{n} σn= ∑ n = 1 n v n \sum_{n=1}^{n} v_{n} ∑n=1nvn
- 则 σ 1 \sigma_{1} σ1= s n 1 s_{n_1} sn1, σ 2 \sigma_{2} σ2= s n 2 s_{n_2} sn2; ⋯ \cdots ⋯; σ k \sigma_{k} σk= s n k s_{nk} snk, ⋯ \cdots ⋯, ( n 1 < n 2 < ⋯ < n k < ⋯ ) (n_1
- 数列 { σ n } \set{\sigma_{n}} {σn}是 { s n } \set{s_{n}} {sn}的一个子数列
- 而由数列收敛于 A A A其子数列必也收敛于 A A A的性质可知: lim k → ∞ σ k \lim\limits_{k\to{\infin}}\sigma_{k} k→∞limσk= lim n → ∞ s n \lim\limits_{n\to{\infin}}s_{n} n→∞limsn= A A A
- 证毕
- 加括号后收敛的级数本身不一定收敛,例如 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 \sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1} ∑n=1∞(−1)n−1= 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 1-1+1-1+\cdots 1−1+1−1+⋯
(1)并不收敛- n n n为奇数时: ∑ n = 1 n ( − 1 ) n − 1 \sum_{n=1}^{n}(-1)^{n-1} ∑n=1n(−1)n−1= 1 1 1; n n n为偶数时: ∑ n = 1 n ( − 1 ) n − 1 \sum_{n=1}^{n}(-1)^{n-1} ∑n=1n(−1)n−1=0,即该级数的前 n n n项和(级数的部分和) s n s_{n} sn数列 { s n } \set{s_{n}} {sn}是: 1 , 0 , 1 , 0 , ⋯ 1,0,1,0,\cdots 1,0,1,0,⋯这是个发散的数列,因此级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 \sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1} ∑n=1∞(−1)n−1发散
- Note:另一方面,通项 ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} (−1)n−1的极限不为0,也能说明 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 \sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1} ∑n=1∞(−1)n−1发散
- 现在对级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 \sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n-1} ∑n=1∞(−1)n−1展开两个一组地加括号,从第一项开始: ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ⋯ + ( 1 − 1 ) + ⋯ (1-1)+(1-1)+\cdots+(1-1)+\cdots (1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)+⋯= 0 + 0 + ⋯ + 0 + ⋯ 0+0+\cdots+0+\cdots 0+0+⋯+0+⋯
(2)收敛于 0 0 0(得到的新级数为 ∑ n = 1 ∞ 0 \sum_{n=1}^{\infin}0 ∑n=1∞0=0,通项极限为0,数列收敛) - 级数(2)收敛,去括号后的级数不收敛(发散);因此加括号后的数列收敛不能说明,去括号后仍然收敛
- 通过构造新数列来证明
- 级数 ∑ n = 1 n u n \sum_{n=1}^{n}u_{n} ∑n=1nun收敛的必要条件是 lim n → ∞ u n = 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}u_{n}=0 n→∞limun=0
- 利用 u n = s n − s n − 1 u_{n}=s_{n}-s_{n-1} un=sn−sn−1的两边取极限证明
- 设级数 ∑ n = 1 n u n \sum_{n=1}^{n}u_{n} ∑n=1nun收敛于 s s s,级数的部分和 s n s_{n} sn,则 lim n → ∞ s n = s \lim\limits_{n\to{\infin}}s_{n}=s n→∞limsn=s
- 而 lim n → ∞ u n \lim\limits_{n\to\infin} u_{n} n→∞limun= lim n → ∞ ( s n − s n − 1 ) \lim\limits_{n\to\infin} (s_{n}-s_{n-1}) n→∞lim(sn−sn−1)= lim n → ∞ s n − lim n → ∞ s n − 1 \lim\limits_{n\to\infin} s_{n}-\lim\limits_{n\to\infin} s_{n-1} n→∞limsn−n→∞limsn−1= s − s s-s s−s= 0 0 0
- lim n → ∞ u n = 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}u_{n}=0 n→∞limun=0推不出级数 lim n → ∞ u n \lim\limits_{n\to\infin} u_{n} n→∞limun收敛,例如调和级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n} ∑n=1∞n1发散
- 利用 u n = s n − s n − 1 u_{n}=s_{n}-s_{n-1} un=sn−sn−1的两边取极限证明
基于定义的重要的基础级数模型
p级数
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lim n → ∞ ∑ n = 1 ∞ 1 n p \lim\limits_{n\to{\infin}}\sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^{p}} n→∞lim∑n=1∞np1= 1 + 1 2 p + 1 3 p + ⋯ 1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+\cdots 1+2p1+3p1+⋯ ( p > 0 ) \;(p>0) (p>0)
- 0 < p ⩽ 1 0
- 当 p = 1 p=1 p=1时,称为调和级数(发散),其证明使用定义证明
- 当 0 < p < 1 0
- p > 1 p>1 p>1收敛
- 抽象出函数 1 x p \frac{1}{x^{p}} xp1= x − p x^{-p} x−p,是个递减函数
- 我们用积分判别法来证明(用连续的工具解决离散的问题)
- 其证明可以借助定积分的定义: S n S_{n} Sn= 1 + ∫ 1 n 1 x p d x 1+\int_{1}^{n}\frac{1}{x^{p}}\mathrm{d}x 1+∫1nxp1dx,其中积分式计算 [ 1 , n ] [1,n] [1,n]区间内曲边梯形的面积,这个数值是大于分割的 n − 1 n-1 n−1个小矩形面积之和
- 小区间内 x ∈ [ k − 1 , k ] x\in[k-1,k] x∈[k−1,k]
(0), k = 2 , ⋯ , n k=2,\cdots,n k=2,⋯,n时 1 k p ⩽ 1 x p \frac{1}{k^{p}}\leqslant\frac{1}{x^{p}} kp1⩽xp1(1) - 对(1)两边作区间 [ k − 1 , k ] [k-1,k] [k−1,k]上的定积分,有 1 k p \frac{1}{k^{p}} kp1= ∫ k − 1 k 1 k p d x \int_{k-1}^{k}\frac{1}{k^{p}}\mathrm{d}x ∫k−1kkp1dx ⩽ \leqslant ⩽ ∫ k − 1 k 1 x p d x \int_{k-1}^{k}\frac{1}{x^{p}}\mathrm{d}x ∫k−1kxp1dx
- 小区间内 x ∈ [ k − 1 , k ] x\in[k-1,k] x∈[k−1,k]
- 求和: s n s_{n} sn= 1 + ∑ k = 2 n 1 k p 1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{p}} 1+∑k=2nkp1 ⩽ \leqslant ⩽ 1 + ∑ k = 2 n ∫ k − 1 k 1 k p d x 1+\sum_{k=2}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{k^{p}}\mathrm{d}x 1+∑k=2n∫k−1kkp1dx = 1 + ∫ 1 n 1 k p d x 1+\int_{1}^{n}\frac{1}{k^{p}}\mathrm{d}x 1+∫1nkp1dx= 1 + 1 1 − p x 1 − p ∣ 1 n 1+\frac{1}{1-p}x^{1-p}|_{1}^{n} 1+1−p1x1−p∣1n= 1 + 1 1 − p ( n 1 − p − 1 ) 1+\frac{1}{1-p}(n^{1-p}-1) 1+1−p1(n1−p−1)= 1 + 1 p − 1 ( 1 − n 1 − p ) 1+\frac{1}{p-1}(1-n^{1-p}) 1+p−11(1−n1−p)
- 而 p > 1 p>1 p>1,所以 p − 1 > 0 p-1>0 p−1>0
- 又 n ⩾ 1 n\geqslant{1} n⩾1,从而 n p − 1 n^{p-1} np−1关于 n n n递减,且 n p − 1 ∈ ( 0 , 1 ] n^{p-1}\in(0,1] np−1∈(0,1], 1 − n 1 − p ∈ [ 0 , 1 ) 1-n^{1-p}\in[0,1) 1−n1−p∈[0,1)
- 从而 s n < 1 + 1 p − 1 s_{n}<{1+\frac{1}{p-1}} sn<1+p−11, ( n = 2 , 3 , ⋯ ) (n=2,3,\cdots) (n=2,3,⋯)
- 因此 { s n } \set{s_{n}} {sn}有界,因此级数收敛
- 0 < p ⩽ 1 0
几何级数
- lim n → ∞ ∑ n = 0 ∞ a q \lim\limits_{n\to{\infin}}\sum_{n=0}^{\infin}aq n→∞lim∑n=0∞aq
- q ≠ 1 q\neq{1} q=1
- S n = a ( 1 − q n ) 1 − q S_n=\frac{a(1-q^{n})}{1-q} Sn=1−qa(1−qn)
- q = 1 q=1 q=1
- S n = n a S_{n}=na Sn=na
- ∣ q ∣ < 1 |q|<{1} ∣q∣<1收敛,且收敛于 a 1 − q \frac{a}{1-q} 1−qa
- ∣ q ∣ ⩾ 1 |q|\geqslant 1 ∣q∣⩾1发散
- q ≠ 1 q\neq{1} q=1
正项级数收敛定理
- 正项级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n} ∑n=1∞un收敛的充要条件是它的部分和数列 { s n } \set{s_{n}} {sn}有界
- 基本原理是**单调有界数列必有极限(收敛)**准则
- 由于正项级数的部分数列必定是单调增加的,从而上述收敛结论是显然的
审敛法
- 上述定理可推导出一系列判别正项级数收敛或发散的法则(称为审敛法)
- 常数项级数分为正项级数和交错级数
- 正项级数的审敛法主要由2大类和4小类
- 交错级数主要考虑Leibniz准则
- 任意项级数考察绝对收敛
正项级数两大类审敛法的比较
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两类正项级数审敛法另见它文,这里作一个方法上的比较和总结
- 正项级数级数自身通项的审敛法@比值判别法@根值判别法
- 正项级数比较审敛法@衍生方法@极限审敛法
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比较审敛法是使用不方便但是适用范围广
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而比值和根值审敛法是适用方便但是适用范围窄
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而一般情况先考虑后者(含有 a n , n b , n ! a^{n},n^{b},n! an,nb,n!的情形)
- 并且带有 n ! n! n!的适用比值审敛法;其他情形适用根值审敛法往往更方便