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坐标转换与坐标系转换

坐标转换及坐标系转换

一般而言坐标转换及坐标系的转换都是对应一个变换矩阵。以二维平面坐标为例，这里我们定义的坐标转换是指，在一个固定的坐标系，一个点经由一个变换变到另一个点；坐标系转换是指，A坐标系通过一个旋转平移变换变成B坐标系后，对于一个在A坐标系的点，其在B坐标将变成。假设我们知道这个变换对应的旋转为逆时针角旋转外加平移向量，以下讨论上述两种情形下对于坐标点对应的转换矩阵的形式。

坐标转换

坐标转换.png

对于坐标转换，使用齐次坐标，变换矩阵的形式可以很容易给出


matrix1.JPG

坐标系转换

对于坐标系转换情形，我们分两步来说明。

旋转变换

坐标系转换旋转.png

假设A坐标系到B坐标系只有逆时针角度的旋转，如图所示，那么我们有

即

ABtransform.JPG

变换一下得到，


BAtransform.JPG

平移变换

坐标系转换平移.png

假设B坐标系到C坐标系只有一个平移，那么

平移公式.JPG

综合在一起，我们可以得到


最终公式.JPG

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