判断一个点是否在一个多边形内部

1 原理

如下图所示， 四边形ABCD, P在四边形内部，Q在四边形外部。

通过观察可以发现， 当点在四边形内部时， 如果按顺时针方向的话， 点P在四条边AB， BC, CD, DA的右侧。 当然如果按逆时针的话， 点P在四条边的左侧。
点Q在AB,BC和CD的右侧， 但在DA的左侧。因此可以通过方向的一致性判断点是否位于多边形内部。

判断方向可以通过向量的叉积运算。

$AB$x$AP$, $BC$x$BP$,$CD$x$CP$,$DA$x$DP$如果同方向， 那么P点就在多边形内部，否则就不在内部。

向量叉乘的结果是一个向量， 二维向量叉乘时， 结果向量的方向垂直于这2个向量。
其实不必要求是顺时针方向， 逆时针也可以， 逆时针顺序时4个向量叉积就都是小于0了。 因此只要4个向量叉乘是同时为正， 或同时为负就行。

2 向量叉积

假设有2个向量$a=(x_1,y_1)$, $b=(x_2,y_2)$, $a$与$b$的叉积是一个向量，方向垂直于 $a$与$b$所在的平面， 遵循右手法则。

$a$x$b$= $0i+0j+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)k$

3 一些思考

其实最开始观察时， 发现了另外一个规律仿佛也奏效， 那就是$AB$与$AP$, $BC$与$BP$,$CD$与$CP$,$DA$与$DP$夹角都是小于90度的， 对Q点对应的向量夹角， 有些是小于90度， 有些是大于90度的， 那么通过向量的内积也可以判断。其实这个规律不是普世的， 可以举出反例， P点在多边形内部时， 也会出现同时有大于90度和小于90度的角。
如下图所示：

$DA$与$DP$夹角是大于90度的， 而其他向量夹角是小于90度的。

上面的判断方法（指的是根据向量外积)， 只适用于任意的凸多边形， 对非凸多边形是不适用的。

如上图所示， 对于非凸多边形，$CD$x$CP$的方向与其他向量就不同。

4 代码实现

import numpy as np


def isPointInArea(point, area):
    """

    :param point: [x,y]
    :param area: [[x1,y1],[x2,y2],[x3,y3],...]
    :return: if point is in area, return True, else False
    """
    area_point_num = len(area)
    if area_point_num < 3:
        raise ValueError(f"the point number of the area must >=3, but get {area_point_num}")
    area.append(area[0])

    area = np.asarray(area)

    orientations = []
    xp, yp = point[0], point[1]
    for index in range(area_point_num):
        a = area[index + 1] - area[index]
        b = (xp - area[index, 0], yp - area[index, 1])
        ori = a[0] * b[1] - b[0] * a[1]
        orientations.append(ori)

    orientations = np.asarray(orientations)
    flags = orientations > 0
    if flags.sum() == area_point_num or flags.sum() == 0:
        return True
    else:
        return False


if __name__ == "__main__":
    point = [0.5, 1.5]
    area = [[0, 0], [0, 2], [2, 2], [2, 0]]
    flag = isPointInArea(point, area)
    print(flag)