代码随想录刷题Day45 | 70. 爬楼梯 | 322. 零钱兑换 | 279. 完全平方数
代码随想录刷题Day45 | 70. 爬楼梯 | 322. 零钱兑换 | 279. 完全平方数
70. 爬楼梯
题目：
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
思路：
1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
- 确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
- dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
- 确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
- 举例来推导dp数组
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 2];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
for(int j = 1; j<= 2; j++){
dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
}
322. 零钱兑换
题目：
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
思路：
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
- 确定递推公式
得到dp[j]（考虑coins[i]），只有一个来源，dp[j - coins[i]]（没有考虑coins[i]）。
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
代码如下：
vector dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
- 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！
那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。
本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
- 举例推导dp数组
以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
dp[amount]为最终结果。
代码：
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount + 1];
for(int i = 1; i <= amount; i++){
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
for(int i = 0; i < coins.length; i++){
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
if(dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE){
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
}
}
279. 完全平方数
题目：
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
思路：
可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。
我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。
非0下标的dp[j]应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
我们知道这是完全背包，
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
我这里先给出外层遍历背包，内层遍历物品的代码：
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
- 举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：
dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
最后的dp[n]为最终结果。
代码：
class Solution {
public int numSquares(int n) {
int[] num = new int[n / 2 + 1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(i * i < n){
num[i - 1] = i * i;
}else if(i * i == n){
return 1;
}else{
break;
}
}
int[] dp = new int[n + 1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
for(int i = 0; i < num.length && num[i] != 0; i++){
for(int j = num[i]; j <= n; j++){
if(dp[j - num[i]] != Integer.MAX_VALUE){
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - num[i]] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}