「代码随想录」279.完全平方数 【动态规划】力扣详解！
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279.完全平方数
题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
提示：
- 1 <= n <= 10^4
思路
可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。
我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
感受出来了没，这么浓厚的完全背包氛围，而且和昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换就是一样一样的！
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：和为i的完全平方数的最少数量为dp[i]
- 确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。
非0下标的dp[j]应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[i]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
我们知道这是完全背包，
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
在动态规划：322. 零钱兑换中我们就深入探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数！
所以本题外层for遍历背包，里层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
我这里先给出外层遍历背包，里层遍历物品的代码：
vector dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
- 举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：
dp[0] = 0
dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1
dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2
dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3
dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1
dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
最后的dp[n]为最终结果。
C++代码
以上动规五部曲分析完毕C++代码如下：
// 版本一
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
};
同样我在给出先遍历物品，在遍历背包的代码，一样的可以AC的。
// 版本二
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 遍历背包
if (j - i * i >= 0 && dp[j - i * i] != INT_MAX) {
dp[j] = min(dp[j - i * i ] + 1, dp[j]);
}
}
}
return dp[n];
}
};
总结
如果大家认真做了昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换，今天这道就非常简单了，一样的套路一样的味道。
但如果没有按照「代码随想录」的题目顺序来做的话，做动态规划或者做背包问题，上来就做这道题，那还是挺难的！
经过前面的训练这道题已经是简单题了，哈哈哈
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