0x51 线性DP

0x51 线性DP

动态规划算法把原问题视作若干个重叠问题的逐层递进，每个子问题的求解过程都构成一个“阶段”。在完成前一个阶段的计算后，动态规划才会执行下一个阶段的计算。

为了保证这些计算能够按顺序、不重复地进行，动态规划要求已经求解的子问题不受后续阶段的影响。这个条件也被叫做“无后效性”。换言之，动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图，遍历顺序就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的“状态”，图中的边则对应状态之间的“转移”，转移的选取就是动态规划中的“决策”。

在很多情况下，动态规划用于求解最优化问题。此时，下一阶段的最优解应该能够由前面各阶段子问题的最优解导出。这个条件被称为“最优子结构性质”。当然，这是一种比较片面的说法，它其实告诉我们，动态规划在阶段计算完成时，只会在每个状态上保留与最终解集相关的部分代表信息，这些代表信息应该具有可重复的求解过程，并能够导出后续阶段的代表信息。这样一来，动态规划对状态的抽象和子问题的重叠递进才能够起到优化作用。

“状态”“阶段”和“决策”是构成动态规划算法的三要素，而“子问题重叠性”“无后效性”和“最优子结构性质”是问题能够使用动态规划求解的三个基本条件。

动态规划算法把相同的计算过程作用于各阶段的同类子问题，就好像把一个固定的公式在格式相同的若干输入数据上运行。因此，我们一般只需要定义出DP的计算过程，就可以编程实现了。这个计算过程被称为“状态转移方程”。

具有线性“阶段”划分的动态规划算法被统称为线性DP。大家对于最长上升子序列（LIS）、最长公共子序列（LCS）、数学三角形等DP的经典入门例题应该并不陌生。我们尝试分析一下DP要素在其中的体现。

1.最长上升子序列（LIS）

LIS问题
问题描述	最长上升子序列。给定一个长度为$N$的数列$A$，求数值单调递增的子序列的长度是多少。$A$的任意子序列$B$可表示为$B=A_{k_1},A_{k_2},...,A_{k_p}$，其中$k_1<k_2<...<k_p$。
状态表示	$F[i]$表示以$A[i]$为结尾的“最长上升子序列”的长度
阶段划分	子序列的结尾位置（数列$A$中的位置，从前到后）
转移方程	$F[i]=\underset{0\le j\le i,A[j]<A[i]}{\max }\{F[j]+1\}$
边界	$F[0]=0$
目标	$\underset{1\le i\le N}{\max }\{F[i]\}$

2.最长公共子序列（LCS）

LCS问题
问题描述	最长公共子序列。给定连个长度分别为$N$和$M$的字符串$A$和$B$，求既是$A$的子序列又是$B$的子序列的字符串长度最长是多少。
状态表示	$F[i][j]$表示前缀子串$A[1\sim i]$与$B[1\sim j]$的“最长公共序列”的长度
阶段划分	已经处理的前缀长度（两个字符串中的位置，即一个二维坐标）
转移方程	$F[i,j]=\max \{\begin{array}{l}F[i-1,j]\\ F[i,j-1]\\ F[i-1,j-1]+1\text{ if }A[i]=B[j]\end{array}$
边界	$F[i,0]=F[0,j]=0$
目标	$F[N,M]$

3.数学三角形

数学三角形问题
问题描述	给定一个共有$N$行的三角矩阵$A$，其中第$i$行有$j$列。从左上角出发，每次可以向下方或右下方走一步，最终到达底部。求把经过的所有位置的数加起来，和最大是多少。
状态表示	$F[i][j]$表示从左上角走到第$i$行第$j$列，和最大是多少
阶段划分	路径的结尾位置（矩阵的行、列位置，即一个二维坐标）
转移方程	$F[i,j]=A[i,j]+\max \{\begin{array}{l}F[i-1,j]\\ F[i-1,j-1]\text{ if }j>1\end{array}$
边界	$F[1,1]=A[1,1]$
目标	$\underset{1\le j\le N}{\max }\{F[N,j]\}$

容易发现，无论状态表示是一维还是多维，DP算法在这些问题上都体现为“作用在线性空间的递推”——DP的阶段沿着各个维度线性增长，从一个或多个“边界点”开始有方向地向整个状态空间转移、扩展，最后在每个状态上都保留了以自身为“目标”的子问题的最优解。

这几个问题也是线性DP中最简单的一类，在这类问题中，需要计算的对象表现出明显的维度以及有序性，每个状态的求解直接构成一个阶段，这使得DP的状态表示就是阶段的表示。因此，我们只需要在每个维度上各取一个坐标值作为DP的状态，自然就可以描绘出“已求解部分”在状态空间中的轮廓特征，该轮廓的进展就是阶段的推移。另外，每个状态的求解显然只与之前的最优解有关，最优子结构性质也就得以验证。接下来，我们按照顺序依次循环每个维度，根据问题要求递推求解的具体实现过程也就顺理成章了。