立体几何之目：2018年理数全国卷B题20

2018年理数全国卷B题20（12 分）

如图，在三棱锥 中，，， 为 的中点.

（1）证明∶ 平面 ;

（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.

2018年理科数学全国卷B

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2018年理数全国卷B题20

【解答第1问】

∵ ，, ∴ .

又∵ 为 的中点，∴ .

又∵ , 且 是三个三角形的公共边，∴ ,

∴

∴ 平面 .

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用体积公式求解线面角

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【解答第2问】

连接 , 并记 的交点为 .

作 , 点 为垂足. 连接 . 由 『三垂线定理』可知：.

∵ 面 , , ∴ 是二面角 的平面角； 是 在平面 内的投影.

由题设条件可知：,

点 与面 的距离为

∴ 与平面 所成角的正弦值为：

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【提炼与提高】

将空间问题可以转化为平面上的问题，是立体几何的常用策略。

为了求二面角，可以先求其平面角，也可以把问题转化为（存在投影关系的）两个三角形的面积之比。反之，二面角已知，则平面角已知，两个三角形的面积比也可以计算得出。

灵活应用四面体的体积公式可以解决好多问题。在本题中，我们用四面体的体积公式算出点 到平面 的距离，进而求出了线面角的正弦。

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【相关考题】

2004年文数全国卷C题21

2007年理数海南卷题18

注意将这两个考题中的四面体与本题中的四面体 进行比较。

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