【数学建模算法】（5）整数规划应用实例：生产与销售计划问题

之前的几篇番外，我们介绍了运筹学软件Lingo的用法，之后对于规划问题的处理，如无特殊说明，均视为采用Lingo求解。

例1 生产与销售问题
某公司用两种原油（ A 和 B ）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲、乙两种汽油含原油的最低比例分别为 50％和 60％，每吨售价分别为 4800 元和 5600 元。该公司现有原油 A 和 B 的库存量分别为 500 吨和 1000 吨，还可以从市场上买到不超过 1500吨的原油 A 。原油 A 的市场价为：购买量不超过 500 吨时的单价为 10000 元/吨；购买量超过 500 吨单不超过 1000 吨时，超过 500 吨的部分 8000 元/吨；购买量超过 1000 吨时，超过 1000 吨的部分 6000 元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工。

1.问题分析

安排原油采购、加工的目标是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油 A的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油 A 的支出之差。这里的难点在于原油 A 的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。

2.模型建立

设原油的购买量为（单位：吨）。根据题目所给数据，采购的支出可表示为如下的分段线性函数（以下价格以千元/吨为单位）

设原油用于生产甲，乙两种汽油的数量分别为和，原油用来生产两种汽油的数量分别是和，则总的输入为（千元）。于是本例的目标函数（利润）为：

（此处代表一个非线性分段函数）
约束条件包括两种汽油用的原油，的库存限制，原油购买量的限制，原油的比例限制。

现在问题在于，目标函数中的c(x)是一个非线性函数

3.模型求解

下面介绍三种解法：
(1)解法一：
一个自然的想法是将原油A采购量的x分为三个量，用，，分别表示10千元每吨，8千元每吨，6千元每吨采购的原油A的吨数，总支出为

且：

此时目标函数变为线性函数：

如何把分段的限制条件加入呢？
注意到，只有当以10千元每吨的价格购买吨时，才能以8千元/吨的价格购买，这个条件可以表示为：

同理，用同样的条件来限制和：

此外，还有本身的取值范围：

综合以上所有条件，得到最终的程序：

model:
sets:
var1/1..4/:y; !这里y(1)=x11,y(2)=x21,y(3)=x12,y(4)=x22;
var2/1..3/:x,c;
endsets
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x);
y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500;
y(2)+y(4)<1000;
0.5*(y(1)-y(2))>0;
0.4*y(3)-0.6*y(4)>0;
(x(1)-500)*x(2)=0;
(x(2)-500)*x(3)=0;
@for(var2:@bnd(0,x,500));
data:
c=10 8 6;
enddata
end

运行得到全局最优解：购买1000吨原油，与库存的500吨原油A与1000吨原油B一起，共产生2500吨汽油乙，利润为5000（千元）。

（2）解法二
引入0-1变量

model:
sets:
var1/1..4/:y; !这里y(1)=x11,y(2)=x21,y(3)=x12,y(4)=x22;
var2/1..3/:x,z,c;
endsets
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x);
y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500;
y(2)+y(4)<1000;
0.5*(y(1)-y(2))>0;
0.4*y(3)-0.6*y(4)>0;
@for(var1(i)|i #lt# 3:500*z(i+1)

(3)解法三
直接处理分段线性函数。
记分断点

当处于第一个小区间，记，因为在上是线性的。

分段函数

同理，当处于第二个小区间时，
，，

当处于第三个小区间时，

为了表示在哪个区间内，引入0-1变量，当在第个小区间时，，否则，，这样应满足：

此时可将和x统一表示。


此时又是一个线性规划模型。

endsets
data:
b=0,500,1000,1500;
c=0,5000,9000,12000;
z=,,,0; !增加的虚拟变量z(4)=0;
enddata
max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var:c*w);
y(1)+y(3)<@sum(var:b*w)+500;
y(2)+y(4)<1000;
0.5*(y(1)-y(2))>0;
0.4*y(3)-0.6*y(4)>0;
w(1)