层次分析法

     层次分析法主要用于解决评价类问题(例如选择哪种方案最好,哪位运动员或者员工表现的更优秀)

     先用一道引出层次分析法的例题:小明同学高考填完志愿后,小明想出去旅游。在查阅了网上的攻略后,他初步选择了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。请你确定评价指标体系、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

     对于评价类问题,我们首先应该想到以下三个问题:

(1)我们评价的目标是什么?

       为小明同学选择最佳的旅游景点

(2)我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案?

        三种,分别是去苏杭、去北戴河和去桂林

(3)评价的准则或者说指标是什么?(我们根据什么东西来评价好坏)

        题目没给相关数据支撑,需要我们确定

     一般而言,前两个问题的答案是显而易见的,第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合,从中筛选出最合适的指标。网上优先选择知网(或者万方、百度学术、谷歌学术等平台)搜索相关的文献

层次分析法_第1张图片

     在写论文的时候如果引用专家的文章会显得很专业哦。

     假如我们查询了资料后选择了以下五个指标:

景点景色
旅游花费
居住环境
饮食情况
交通便利程度

     我们对小明怎么提问才能帮他合理的做决定呢?有这样一张表格:

层次分析法_第2张图片

      有的同学会说直接让小明填好这张表不就好了?不不不,这样往往比较片面,如果明天再让他填一次,大概率就不一样了,引用这样一段话:

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难
是这些比重常常不易定量化。此外,当影响某因素的因子较多时,直接
考虑各因子对该因素有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此
失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据,甚至
有可能提出一组隐含矛盾的数据。
                     ——选自司守奎老师的《数学建模算法与应用》

      我们的问题是一次性考虑这五个指标之间的关系,往往考虑不周,解决方法就是两个两个指标进行比较,最终根据两两比较的结果来推算出权重

基本思想:

      如果用1-9表示重要程度,请你两两比较上述这五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

层次分析法_第3张图片层次分析法_第4张图片层次分析法_第5张图片

       就这样,小明回答了C(5,2)次,填好了上面这张表,实际情况下没有小明帮我们回答,具体我们等后面再说。

      上面这个表是一个5x5的方阵,我们记为A,对应的元素为aij。

(1)aij表示的意思是,与指标j相比,i的重要程度
(2)当i=j时,两个指标相同,因此同等重要记为1,这就解释了主对角线元素为1
(3)aij>0且满足aijxaji=1,我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵

      实际上,上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵,得到了判断矩阵,就可以计算出权重了,稍后再进行介绍

       那如何计算苏杭、北戴河与桂林在景色方面的权重(得分)呢?

       首先填写判断矩阵

层次分析法_第6张图片

层次分析法_第7张图片      但有一个可能出问题的地方: 层次分析法_第8张图片

 层次分析法_第9张图片

一致矩阵

若矩阵中每个元素ij>0且满足ijxaji=1 ,则我们称该矩阵为正互反矩阵。
在层次分析法中,我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
若正互反矩阵满足aijxajk=aik,则我们称其为一致矩阵。

     注意:在使用判断矩阵求权重之前,必须对其进行一致性检验

一致性检验

     原理:检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别

     因为还没学线代,所以证明过程就略过去了

层次分析法_第10张图片

     若正互反矩阵(判断矩阵)满足aijxajk=aik,则我们称其为一致矩阵

      层次分析法_第11张图片

一致性检验的步骤

层次分析法_第12张图片         至于平均一致性指标RI是怎么计算来的?

层次分析法_第13张图片计算一致矩阵的权重

     先从简单的开始

层次分析法_第14张图片

 层次分析法_第15张图片

     我们发现是不一样的,所以我们要求出平均值

方法一:算术平均法求权重
层次分析法_第16张图片层次分析法_第17张图片 方法二:几何平均法求权重

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方法三:特征值法求权重

     层次分析法_第19张图片

层次分析法_第20张图片权重填入表中:

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      算出得分:

层次分析法_第22张图片

        类似的,我们可以得到另外两个的得分,这里可以用EXCEL计算减轻工作量,要点是要用F4锁定单元格

     层次分析法(AHP)的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作得到重要度的上面

层次分析法的步骤

    第一步:

层次分析法_第23张图片

     我们可以使用SmartArt生成,也可以使用专业软件:亿图图示

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     第二步: 层次分析法_第26张图片

 层次分析法_第27张图片

层次分析法_第28张图片     第三步:

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      如果CR大于0.10,这时候我们需要对矩阵进行调整,往一致矩阵上调整,一致矩阵各行成倍数关系

     第四步:

层次分析法_第30张图片

     层次分析法也有局限性:

          评价的决策层不能太多,否则n会大。判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大 

          还有就是如果决策层指标数据已知,我们怎么来更好的评价呢?

    下次进行代码实现!

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