算法基础复盘笔记Day03【数据结构】—— 单链表、双链表、栈、队列、单调栈、单调队列

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第一章 单链表

一、单链表

1. 题目描述

实现一个单链表，链表初始为空，支持三种操作：

1. 向链表头插入一个数；
2. 删除第 $k$ 个插入的数后面的数；
3. 在第 $k$ 个插入的数后插入一个数。

现在要对该链表进行 $M$ 次操作，进行完所有操作后，从头到尾输出整个链表。

注意:题目中第$k$ 个插入的数并不是指当前链表的第 $k$ 个数。例如操作过程中一共插入了 $n$ 个数，则按照插入的时间顺序，这 $n$ 个数依次为：第 $1$ 个插入的数，第 $2$ 个插入的数，…第 $n$ 个插入的数。

输入格式

第一行包含整数 $M$，表示操作次数。

接下来 $M$ 行，每行包含一个操作命令，操作命令可能为以下几种：

1. H x，表示向链表头插入一个数 $x$。
2. D k，表示删除第 $k$ 个插入的数后面的数（当 $k$ 为 $0$ 时，表示删除头结点）。
3. I k x，表示在第 $k$ 个插入的数后面插入一个数 $x$（此操作中 $k$ 均大于 $0$）。

输出格式

共一行，将整个链表从头到尾输出。

数据范围

$1\le M\le 100000$
所有操作保证合法。

输入样例：

10
H 9
I 1 1
D 1
D 0
H 6
I 3 6
I 4 5
I 4 5
I 3 4
D 6

输出样例：

6 4 6 5

---

2. 思路分析

单链表模板：

// head存储链表头，e[]存储节点的值，ne[]存储节点的next指针，idx表示当前用到了哪个节点
int head, e[N], ne[N], idx;

// 初始化
void init()
{
    head = -1;
    idx = 0;
}

// 在链表头插入一个数a
void insert(int a)
{
    e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx ++ ;
}

// 将头结点删除，需要保证头结点存在
void remove()
{
    head = ne[head];
}

---

3. 代码实现

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

// head 表示头结点的下标
// e[i] 表示节点i的值
// ne[i] 表示节点i的next指针是多少
// idx 存储当前已经用到了哪个点
int head, e[N], ne[N], idx;

//初始化
void init()
{
    head = -1;
    idx = 0;
}

// 将x插到头结点
void add_to_head(int x)
{
    e[idx] = x, ne[idx] = head, head = idx ++;
}

// 将x插到下标是k的点后面
void add(int k, int x)
{
    e[idx] = x, ne[idx] = ne[k], ne[k] = idx ++;
}

// 将下标是k的点后面的点删掉
void remove(int k)
{
    ne[k] = ne[ne[k]];
}

int main()
{
    int m;
    cin >> m;
    
    init();
    
    while (m -- )
    {
        int k, x;
        char op;
        
        cin >> op;
        if (op == 'H')
        {
            cin >> x;
            add_to_head(x);
        }
        else if (op == 'D')
        {
            cin >> k;
            if (!k) head = ne[head]; //删除头节点
            else remove(k - 1); //注意删除第k个输入后面的数，那函数里放的是下标，k要减去1
        }
        else
        {
            cin >> k >> x;
            add(k - 1, x); //同样的，第k个数，和下标不同，所以要减1
        }
    }
    
    for (int i = head; i != -1; i = ne[i]) cout << e[i] << ' ';
    cout << endl;
    
    return 0;
}

---

第二章 双链表

一、双链表

1. 题目描述

实现一个双链表，双链表初始为空，支持 $5$ 种操作：

1. 在最左侧插入一个数；
2. 在最右侧插入一个数；
3. 将第 $k$ 个插入的数删除；
4. 在第 $k$ 个插入的数左侧插入一个数；
5. 在第 $k$ 个插入的数右侧插入一个数

现在要对该链表进行 $M$ 次操作，进行完所有操作后，从左到右输出整个链表。

注意:题目中第 $k$ 个插入的数并不是指当前链表的第 $k$ 个数。例如操作过程中一共插入了 $n$ 个数，则按照插入的时间顺序，这 $n$ 个数依次为：第 $1$ 个插入的数，第 $2$ 个插入的数，…第 $n$ 个插入的数。

输入格式

第一行包含整数 $M$，表示操作次数。

接下来 $M$ 行，每行包含一个操作命令，操作命令可能为以下几种：

1. L x，表示在链表的最左端插入数 $x$。
2. R x，表示在链表的最右端插入数 $x$。
3. D k，表示将第 $k$ 个插入的数删除。
4. IL k x，表示在第 $k$ 个插入的数左侧插入一个数。
5. IR k x，表示在第$k$ 个插入的数右侧插入一个数。

输出格式

共一行，将整个链表从左到右输出。

数据范围

$1\le M\le 100000$
所有操作保证合法。

输入样例：

10
R 7
D 1
L 3
IL 2 10
D 3
IL 2 7
L 8
R 9
IL 4 7
IR 2 2

输出样例：

8 7 7 3 2 9

---

2. 思路分析

双链表模板：

// e[]表示节点的值，l[]表示节点的左指针，r[]表示节点的右指针，idx表示当前用到了哪个节点
int e[N], l[N], r[N], idx;

// 初始化
void init()
{
    //0是左端点，1是右端点
    r[0] = 1, l[1] = 0;
    idx = 2;
}

// 在节点a的右边插入一个数x
void insert(int a, int x)
{
    e[idx] = x;
    l[idx] = a, r[idx] = r[a];
    l[r[a]] = idx, r[a] = idx ++ ;
}

// 删除节点a
void remove(int a)
{
    l[r[a]] = l[a];
    r[l[a]] = r[a];
}

---

3. 代码实现

#include 

using namespace std;

const int N = 100010;

int m;
int e[N], l[N], r[N], idx;

//在节点a的右边插入一个数
void insert(int a, int x)
{
   e[idx] = x;
   l[idx] = a, r[idx] = r[a];
   l[r[a]] = idx, r[a] = idx ++;
}

//删除节点a
void remove(int a)
{
    l[r[a]] = l[a];
    r[l[a]] = r[a];
}

int main()
{
    cin >> m;

    //0是左端点，1是右端点
    r[0] = 1, l[1] = 0;
    idx = 2;

    while (m -- )
    {
        string op;
        cin >> op;
        int k, x;
        
        if (op == "L")
        {
            cin >> x;
            insert(0, x); //最左边插入就是 在指向 0的数的左边插入就可以了,也就是可以直接在0的右边插入即可
        }
        else if (op == "R")
        {
            cin >> x;
            insert(l[1], x); //最右边插入只要在 指向 1的 那个点的右边插入就可以了
        }
        else if (op == "D")
        {
            cin >> k;
            remove(k + 1); //双链表的起始点是2. 所以，每个插入位置k的真实位置应该为 k-1+2 = k+1 (在单链表中为 k-1)
        }
        else if (op == "IL")
        {
            cin >> k >> x;
            insert(l[k + 1], x);
        }
        else
        {
            cin >> k >> x;
            insert(k + 1, x);
        }
    }

    for (int i = r[0]; i != 1; i = r[i]) cout << e[i] << ' ';
    cout << endl;

    return 0;
}

---

第三章 栈

一、模拟栈

1. 题目描述

实现一个栈，栈初始为空，支持四种操作：

1. push x – 向栈顶插入一个数 $x$；
2. pop – 从栈顶弹出一个数；
3. empty – 判断栈是否为空；
4. query – 查询栈顶元素。

现在要对栈进行 $M$ 个操作，其中的每个操作 $3$ 和操作 $4$ 都要输出相应的结果。

输入格式

第一行包含整数 $M$，表示操作次数。

接下来 $M$ 行，每行包含一个操作命令，操作命令为 push x，pop，empty，query 中的一种。

输出格式

对于每个 empty 和 query 操作都要输出一个查询结果，每个结果占一行。

其中，empty 操作的查询结果为 YES 或 NO，query 操作的查询结果为一个整数，表示栈顶元素的值。

数据范围

$1\le M\le 100000$,
$1\le x\le 10^9$
所有操作保证合法。

输入样例：

10
push 5
query
push 6
pop
query
pop
empty
push 4
query
empty

输出样例：

5
5
YES
4
NO

---

2. 思路分析

用数组来模拟栈：

• 用 $tt$ 来表示栈顶所在的索引；
• 向栈顶插入一个数$x$： 栈顶所在索引往后移动一格，然后放入$x$。stk[++ tt] = x；
• 从栈顶弹出一个数： $tt$ 往前移动一格。tt --;
• 判断栈是否为空：$tt$大于0则栈非空，等于0则栈为空。tt ? "NO" : "YES"
• 查询栈顶元素：直接返回栈顶元素。stk[tt]；

---

3. 代码实现

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int m;
int stk[N], tt;

int main()
{
    cin >> m;
    while (m --)
    {
        string op;
        int x;
        
        cin >> op;
        if (op == "push")
        {
            cin >> x;
            stk[++ tt] = x;
        }
        else if (op == "pop") tt--;
        else if (op == "empty") cout << (tt ? "NO" : "YES") << endl;
        else cout << stk[tt] << endl;
    }
    return 0;
}

---

二、表达式求值

1. 题目描述

给定一个表达式，其中运算符仅包含 +,-,*,/（加 减 乘 整除），可能包含括号，请你求出表达式的最终值。

注意：

• 数据保证给定的表达式合法。
• 题目保证符号 - 只作为减号出现，不会作为负号出现，例如，-1+2,(2+2)*(-(1+1)+2) 之类表达式均不会出现。
• 题目保证表达式中所有数字均为正整数。
• 题目保证表达式在中间计算过程以及结果中，均不超过 $2^{31}-1$。
• 题目中的整除是指向 $0$ 取整，也就是说对于大于 $0$ 的结果向下取整，例如 $5/3=1$，对于小于 $0$ 的结果向上取整，例如 $5/(1-4)=-1$。
• C++和Java中的整除默认是向零取整；Python中的整除//默认向下取整，因此Python的eval()函数中的整除也是向下取整，在本题中不能直接使用。

输入格式

共一行，为给定表达式。

输出格式

共一行，为表达式的结果。

数据范围

表达式的长度不超过 105105。

输入样例：

(2+2)*(1+1)

输出样例：

8

---

2. 思路分析

1. 定义两个栈：

• 操作数栈：num，用于存储数字
• 运算符栈：op，用于存储运算符

2. 将字符元素一个个扫描，遇到数字则压入栈num；
3. 遇到左括号则直接压入栈op，遇到右括号则计算括号里面直接遇到左括号；
4. 如果栈顶运算符的优先级大于或等于当前运算符优先级的，则从栈num中出栈两个数字进行元素，将运算结果压入重新压入栈num；否则直接将运算符压入栈op中；
5. 最后将剩下的进行运算，返回栈num的栈顶元素。

---

3. 代码实现

#include 

using namespace std;

stack<int> num; //操作数栈
stack<char> op; //运算符栈

//求值
void eval()
{
    auto b = num.top(); num.pop(); //第二个操作数
    auto a = num.top(); num.pop(); //第一个操作数
    auto c = op.top(); op.pop();   //运算符
    int x; //结果
    if (c == '+') x = a + b;
    else if (c == '-') x = a - b;
    else if (c == '*') x = a * b;
    else x = a / b;
    num.push(x); //结果压入操作数栈
}

int main()
{
    //优先级表
    unordered_map<char, int> pr{{'+', 1}, {'-', 1}, {'*', 2}, {'/', 2}};
    string str;
    cin >> str;
    for (int i = 0; i < str.size(); i ++ )
    {
        auto c = str[i];
        if (isdigit(c)) //数字入栈
        {
            int x = 0, j = i; //计算数字
            while (j < str.size() && isdigit(str[j]))
                x = x * 10 + str[j ++] - '0';
            i = j - 1; //本质是i=j，由于外层for循环执行i++，因此这里是i=j-1
            num.push(x); //数字入栈
        }
        else if (c == '(') op.push(c); //左括号无优先级，直接入栈
        //遇到左括号直接入栈，遇到右括号计算括号里面的
        else if (c == ')')
        {
            //一直计算到左括号
            while (op.top() != '(') eval();
            op.pop(); //左括号出栈
        }
        else
        {
            //待入栈运算符优先级低的，则先计算
            while (op.size() && op.top() != '(' && pr[op.top()] >= pr[c]) eval();
            op.push(c); //操作符入栈
        }
    }
    
    while (op.size()) eval(); //最后剩下的进行计算
    cout << num.top() << endl;
    
    return 0;
}

---

第四章 队列

一、模拟队列

1. 题目描述

实现一个队列，队列初始为空，支持四种操作：

1. push x – 向队尾插入一个数 $x$；
2. pop – 从队头弹出一个数；
3. empty – 判断队列是否为空；
4. query – 查询队头元素。

现在要对队列进行 $M$ 个操作，其中的每个操作 3 和操作 4 都要输出相应的结果。

输入格式

第一行包含整数 $M$，表示操作次数。

接下来 $M$ 行，每行包含一个操作命令，操作命令为 push x，pop，empty，query 中的一种。

输出格式

对于每个 empty 和 query 操作都要输出一个查询结果，每个结果占一行。

其中，empty 操作的查询结果为 YES 或 NO，query 操作的查询结果为一个整数，表示队头元素的值。

数据范围

$1\le M\le 100000$,
$1\le x\le 10^9$,
所有操作保证合法。

输入样例：

10
push 6
empty
query
pop
empty
push 3
push 4
pop
query
push 6

输出样例：

NO
6
YES
4

---

2. 思路分析

队列： 就是一个特殊的数组。这个数组，最前面叫队头，最后面叫队尾。只允许在最后面添加元素，只允许在最前面删除元素。

用栈来模拟队列：

• 用 hh 代表对头，$tt$ 代表队尾；
• 向队尾插入一个数x：$tt$ 往后一格后插入$x$。q[++ tt] = x;
• 从队头弹出一个数： $hh$ 往后移动一格即可。hh ++；
• 判断队列是否为空：判断 $[hh,tt]$ 区间是否为空即可。hh <= tt? "NO" : "YES"
• 查询队头元素：弹出队头元素即可。q[hh]

---

3. 代码实现

在这里插入代码片#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int m;
int q[N], hh, tt = -1;

int main()
{
    cin >> m;
    while (m -- )
    {
        string op;
        int x;
        
        cin >> op;
        if (op == "push")
        {
            cin >> x;
            q[++ tt] = x;
        }
        else if (op == "pop") hh ++;
        else if (op == "empty") cout << (hh <= tt? "NO" : "YES") << endl;
        else cout << q[hh] << endl;
    }
    return 0;
}

---

第五章 单调栈

一、单调栈

1. 题目描述

给定一个长度为 $N$ 的整数数列，输出每个数左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 $-1$。

输入格式

第一行包含整数 $N$$N$$N$，表示数列长度。

第二行包含 $N$$N$ 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 $N$ 个整数，其中第 $i$ 个数表示第 $i$ 个数的左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 $-1$。

数据范围

$1\le N\le 10^5$
$1\le 数列中元素\le 10^9$

输入样例：

5
3 4 2 7 5

输出样例：

-1 3 -1 2 2

---

2. 思路分析

维护一个单调递增栈： 在保持栈内元素单调递增的前提下（如果栈顶元素大于要入栈的元素，将将其弹出），将新元素入栈。

对于栈内元素来说：

1. 在栈内自己左边的数就是数组中左边第一个比自己小的元素；
2. 如果当前栈为空并且栈顶元素大于或等于当前元素，则将弹出栈顶元素，将当前元素压入栈中。因为当前元素比栈顶元素还小，所以永远用不到栈顶元素。
3. 输出每个数左边第一个比它小的数，即弹出栈顶元素即可。

---

3. 代码实现

#include 

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int stk[N], tt;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    while (n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        while (tt && stk[tt] >= x) tt --;
        if (!tt) printf("-1 ");
        else printf("%d ", stk[tt]);
        stk[++ tt] = x;
    }
    return 0;
}

---

第五章 单调队列

一、滑动窗口

1. 题目描述

给定一个大小为 $n\le 10^6$ 的数组。

有一个大小为 $k$ 的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 $k$ 个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，$k$ 为 3。

窗口位置	最小值	最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7	-1	3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7	-3	3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7	-3	5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7	3	6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]	3	7

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数 $n$ 和$k$，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有 $n$ 个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

---

2. 思路分析

本题用单调队列来存储当前窗口内单调递减/递增的元素，并且队头是窗口内的最大值/最小值，队尾是窗口内的尾元素。也就是说，队列从队头到队尾对应窗口内从最大值/最小值到尾元素的一个子序列。

求窗口的最大值和最小值分开来做，都需要一下四个步骤：

1. 解决队头已经出窗口的问题；
2. 解决队尾与当前元素 $a[i]$ 不满足单调性的问题；
3. 将当前元素下标加入队尾；
4. 如果满足条件则输出结果。

注意： 队列中存储的窗口元素的下标值，便于判断队头出队。

---

3. 代码实现

#include 

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N], q[N];

int main()
{
    
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        //q[hh]不在窗口[i - k + 1, i]内，队头出队
        if (hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++;
        //当前值 <= 队尾值，队尾出队
        while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt --;
        //下标入队，便于队头出队
        q[++ tt] = i;
        //使用队头最小值
        //i >= k - 1: 保证滑动窗口长度>=k的时候开始输出滑动窗口内最小值，k-1是因为a[]从0开始存
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    
    hh = 0, tt = -1;
     for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        //q[hh]不在窗口[i - k + 1, i]内，队头出队
        if (hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh ++;
        //当前值 >= 队尾值，队尾出队
        while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt --;
        //下标入队，便于队头出队
        q[++ tt] = i;
        //使用队头最大值
        //i >= k - 1: 保证滑动窗口长度>=k的时候开始输出滑动窗口内最大值，k-1是因为a[]从0开始存
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    
    return 0;
}

---

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