算法学习系列（六）：高精度加法、减法、乘法、除法

引言

本文介绍了高精度加法、高精度减法、高精度乘法、高精度除法，这个高精度来说还是有点用的，在一些竞赛啥的还是能用得上的，当然了这个只针对C++来说，java或者python本身就有大整数类型，没必要搞这个。

一、高精度加法

当然先说一下什么是高精度，就是一个很长的数，拿long long也存不下的这种，虽然long long很大有9.2*10^18那么大，可是长度也就19而已，所以要是我输入一个长度50或者100的数，就没有办法了，所以这就是高精度存在的意义，然后思想就是拿string来存，然后根据一些运算特性每一位每一位的处理，然后整合就是最终结果了。

1.题目描述

给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。

输入格式
共两行，每行包含一个整数。

输出格式
共一行，包含所求的和。

数据范围：1≤整数长度≤100000

输入样例：
12
23
输出样例：
35

2.代码实现

说一下思路啊，首先是输入的问题，因为要加法，肯定是从个位加的，然后需要进位，所以肯定个位是从0号下标开始好，因为如果从size-1号下标遍历也行，只不过如果牵扯到进位的话，那么就得从头插了，那就需要特判还要移动整个数组就太费劲了，所以选择把个位存到0号下标去。
然后是加法的问题了，首先定义一个t代表进位，然后从个位开始循环每一位，因为不知道A和B谁长所以循环条件这样写，然后t也可能最后也有进位所以也加入判断条件了，因为最后i可能会超出A或者B的范围，所以在循环里还要判断一下才能加，然后t % 10存到C中，t /= 10，就完成了一次操作，最后要把前导0给去掉，最后从后向前输出C就行了。

#include 
#include 

using namespace std;

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size() || t; ++i)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
   	
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A, B;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
    for(int i = b.size() - 1; i >= 0; --i) B.push_back(b[i] - '0');
    
    auto C = add(A, B);
    
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) printf("%d", C[i]);
    
    return 0;
}

3.测试

可以看出是完全正确的，也AC了

二、高精度减法

1.题目描述

给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的差，计算结果可能为负数。

输入格式
共两行，每行包含一个整数。

输出格式
共一行，包含所求的差。

数据范围
1≤整数长度≤105

输入样例：
32
11
输出样例：
21

2.代码实现

这个减法其实跟加法差不多，区别在于，如果是负数，还是大的减去小的，只不过前面要添个’-'，其余的问题看代码或者注释问题都不太大了

#include 
#include 

using namespace std;

bool cmp(string a, string b)  //a >= b ?
{
    if(a.size() != b.size()) return a.size() > b.size();
    for(int i = 0; i < a.size(); ++i)
    {
        if(a[i] != b[i]) return a[i] > b[i];
    }
    
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &a, vector<int> &b)
{
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < a.size(); ++i)
    {
        t += a[i];
        if(i < b.size()) t -= b[i];  //因为b是小于a的
        C.push_back((t + 10) % 10);  //t可能大于0，也可能小于0，这样做全包括了
        if(t < 0) t = -1;
        else t = 0;
    }
    
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();  //可能存在前导0
    
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    
    bool sign = cmp(a,b);
    if(!sign)
    {
        printf("-");
        swap(a,b);
    }
    
    vector<int> A, B;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
    for(int i = b.size() - 1; i >= 0; --i) B.push_back(b[i] - '0');
    
    auto C = sub(A,B);
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) printf("%d", C[i]);
    
    return 0;
}

3.测试

可以看出都是正确的，然后最后也AC了

三、高精度乘法

1.题目描述

给定两个非负整数（不含前导 0） A 和 B，请你计算 A×B 的值。

输入格式共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。输出格式共一行，包含 A×B 的值。

数据范围
1≤A的长度≤100000,0≤B≤10000

输入样例：
2
3
输出样例：
6

2.代码实现

这个高精度乘法正常的算不太一样，这是从高精度的每一位算起，每一位都乘以这个小整数

#include 
#include 

using namespace std;

vector<int> mul(vector<int> &a, int b)
{
    vector<int> C;
    
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < a.size() || t; ++i)
    {
        if(i < a.size()) t += a[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

int main()
{
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
    
    auto C = mul(A,b);
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) printf("%d", C[i]);
    
    return 0;
}

3.测试

可以看出结果都是正确的，这道题也AC了

四、高精度除法

1.题目描述

给定两个非负整数（不含前导 0） A，B，请你计算 A/B 的商和余数。

输入格式共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。输出格式共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。

数据范围1≤A的长度≤100000,1≤B≤10000 ,B 一定不为 0

输入样例：
7
2
输出样例：
3
1

2.代码实现

这里注意一下的是，这个除法是从高位算起的，但因为正常情况下给出的a个位都是0下标，然后输出也因为是个位为0下标，因为输入输出的原因所以div就处理的多了一些，不过核心还是不变的

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

vector<int> div(vector<int> &a, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    
    r = 0;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; --i)
    {
        r = r * 10 + a[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    
    reverse(C.begin(), C.end());
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

int main()
{
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
    
    int r;  //余数
    auto C = div(A, b, r);
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) printf("%d", C[i]);
    printf("\n%d", r);
    
    return 0;
}

3.测试

可以看出来也是没问题的