分治法

分治思想

并不仅仅是一种算法,更是一种设计算法的思想

基本思想

  1. Divide :把问题分解
  2. Conquer :递归的解决每一个分解出来的问题
  3. Merge :合并解决的问题

学而不思则罔

分析几种使用分治思想的算法,希望从中学到如何去拆解问题,治理问题

归并排序

分治思想分析

  1. 分解:将待排序数组一分为二

    降低问题规模,比如我们要从排序n个数,我们可以把这个问题分解成两个问题(即排序n/2个数),此时我们的问题规模直接降低了一半,我们还可以递归的将问题继续分解,问题规模会变成n/4...n/8...

  2. 治理问题:递归的对每个子数组进行排序

    这一步是会递归的执行(1,2,3步骤),因为我们要把问题分割的尽可能小,小到哪种程度呢,当然是只有一个数的情况,那样就不用排序了,因为只有一个数

  3. 合并问题:很明显合并已经排序好的两个数组,可以在线性时间内完成,这里是
    我们解决了分解之后的问题,这时候需要按照一定的规则把分解之后的问题,组合起来,这里就是把已经排序好的数合并起来

时间复杂度

  1. 递归表达式

    其中,表示问题规模,表示解决问题需要的时间,表示需要把一个规模为的问题分解成两个规模的问题,最后的是指额外的工作,这里指的是合并子问题需要花费的时间

  2. 可视化的方法搞清楚时间复杂度

  • 首先,我们把N递归分解,能分解多少次?(分解是没有复杂度的,因为分解并没有实际的计算)
  • 其次,我们需要计算多少次
graph TD;
    N-->N2_1;
    N-->N2_2;
    N2_1-->N4_1;
    N2_1-->N4_2;
    N2_2-->N4_3;
    N2_2-->N4_4;

观察上图,可知最多会有层,每层需要次计算(这里的计算,是把排序好的数据,合并到一起)

  1. 数学方法搞清楚时间复杂度

首先根据递归式我们可以得到下面的等式 :

我们让等号两边除以得到:


......

将所有这些方程相加得到:

所以就有:

当然,也有很多其它排序方法都能达到这个速度,甚至一些情况下,有复杂度的排序算法,但是归并排序,相对来说比较稳定,通用

排序算法时间复杂度比较

二分查找

分治思想分析

有序的数中查找目标数

查找目标数:

  1. 分解: 和 中间数比较
  2. 治理:如果和中间数不同,那么就根据大小关系,让子数组进行递归(这里会根据条件,递归执行1,2,3步骤)
  3. 合并:这里不需要额外计算,因为找到这个数(或者证明这个数不存在)就可以了

时间复杂度

计算

分治思想分析

  1. 分解:将计算分解为计算
    这里假设m是偶数,如果m是奇数,只需要先设置,算法执行结束后乘以,问题规模同样降低了一半

  2. 治理:递归的将问题分解,最终最小的问题将是

  3. 合并:将得到的结果自身相乘

    这里的操作就是将两个数相乘,所以这里的时间复杂度为

时间复杂度

实践

LeetCode 寻找两个有序数组的中位数

我的个人博客,有空来坐坐

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