＜视觉SLAM十四讲＞ch4 李群和李代数

前言：这部分内容很基础很重要，得看开。

一、引入

旋转矩阵或者变换矩阵对加法是不封闭的，即两个旋转矩阵相加或者两个变换矩阵相加之后的结果并不满足旋转矩阵或者变换矩阵。如果要对关于旋转矩阵 R 的相关函数求导是无法完成的。

二、基础

1、群

群（group）是一种集合加上一种运算的代数结构。
旋转矩阵R构成特殊正交群(Special Orthogpnal Group), SO(3);
变换矩阵T构成特殊欧式群(Special Euclidean Group), SE(3)。定义：李群是具有连续（光滑）性质的群，在空间上具有流形。
注意：由于李群对加法是非封闭的，导致求导和取极限很困难，且具有连续光滑的性质。对于三维空间流形（三维空间曲面）必定存在切空间（三维向量）（三维向量的加法是封闭的），可以利用切空间表示李群进行运算。

2、李代数

李代数描述了李群的局部性质，是单位元附近的正切空间。
李代数so(3):

理解: 若已知R对应的SO(3)原点附近的正切空间上的一3D点，指数关系可以将点映射到对应的李群空间中。同时，对于任意的R都可以找到一个与之对应的三维向量，之间的关系称为指数映射（Exponential Map）。
李代数se(3):

三、指数与对数映射

1、SO(3) 指数映射

so(3)实际上是由所谓的旋转向量