【物理引擎系列（1）】基础刚体物理 - 旋转矩阵，欧拉角，角速度

（1）转动的描述

绕O 点旋转的直杆，P 点上的线速度v，旋转半径 ，以及角速度

Screenshot 2022-08-20 095105.png

注意

转动惯量

moment of inertia, rotational intertia , angular mass

I 的方向和 一致

力矩

torque

注意角加速度方向和角速度一致，都是向上
力矩和转动惯量关系

角动量

angular momentum

角动量是力矩对时间的积分，对应于动量是力对时间的积分

（2）欧拉角

一个旋转的欧拉角表示，在未定义旋转轴次序时，解是不唯一的。
常规欧拉角，参考的三个旋转轴为固定的一个坐标系的三个轴
例如 unity 中的欧拉角，旋转顺序为 zxy [link]，坐标轴为世界坐标系的xyz。
这种描述方式在绕自身坐标系旋转时并不好用，更为常用的一种描述是用 yaw-pitch-roll 方式描述，所绕的坐标轴分别是自身坐标系下的 z(上）- y''-x'''（前） [link]

为了下文的角速度推导，以文献中常用的 z - x' - z'' 为例

rot123.png

旋转矩阵

在一个 XYZ 坐标系中，绕 X, Y, Z 坐标轴的旋转矩阵分别为

旋转矩阵是正交矩阵。三列分别等于旋转后的 x,y,z 轴在原坐标系中的表示。

z-x'-z'' 旋转顺序下的 推导

令 在坐标系A 中的表示记为
由 A -> B -> C -> D ，从A 分别乘上三次旋转矩阵，通过z-x'-z''到 D 坐标系
记

其中有 = = =

对于正交变换 ，当坐标系通过 由 A->B 时有如下推导：

将下式带入上式有

所以

旋转矩阵与轴角的互转

比较简单，不详述。详细可参考 wiki link
在轴角表示 中满足
可以推得

一个补充概念：

因此

=>

如果旋转矩阵为对称矩阵，此方法失效。需要求解对称矩阵的特征向量。但此时旋转矩阵一定为单位阵。所以轴任意轴向，转角为0。

得到轴之后代回 即可求解

从轴角到 R 也很容易推导，不再详述。直接参考 wiki 的结果即可。

（3）从欧拉角推导角速度

最终旋转得到的坐标系中 x3-y3 平面，与 x0-y0 平面的交线为黑色虚线，被称为 line of nodes。
旋转顺序 - -

ref_frame.png

角速度可以被定义在3个旋转轴上，以原始坐标系 A 中的 , , 表示，参考 wiki link。
(定义）

u1u2u3.png

但是为了便利，一般将其重定义为绕自己的三个local坐标轴 x3, y3, z3 的表示

从 , , 到 , , ,即将, , 投影到 x3-y3-z3 构成的坐标系中，有：

带入之前的角速度定义，整理得：

更多拓展参考[1],[2]。

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[1] Euler Angles
[2] Classical_Mechanics - Rigid Body Rotation - Angular Velocity and Eulerian Angles