2.1 对称量量化和非对称量化

前言

int8的数据范围可以表示为-128到127之间的整数
uint8的数据范围可以表示为0到255之间的整数
注释：int8就是用8个比特位来保存整数，第一位用来表示符号。uint8表示无符号整数，没有符号位，8个比特位全部用来表示整数。

1.问题

1.1 引出问题

截断的数值最后反量化与原数值相差较大(1.62与1.1062843)，如何解决该问题？
方法一：偏移–非对称量化
方法第二：最大绝对值对称法–对称量化

1.2 非对称量化

原理分析

动态范围量化(Dynamic Range Quantization)中的校准过程(Calibration)。它属于非对称量化的一种形式。由于量化参数(比如量化因子Scale)是通过数据集的统计量来估计的，因此称之为动态范围量化。它能够减少量化误差的原因是，引入了一个偏移量Z，使得量化后的数值在更小的范围内，进而减小量化误差。同时，偏移量Z的计算使得量化后的最大值Rmax落在了Qmax上，保证了最大值的精度。

非对称量化：使用一个映射公式将输入数据映射到[-128,127]的范围内。但是原始的输入数据中的零点通过映射公式后对应的位置并不是原点。

动态范围量化

通过引入偏移量Z可以解决。具体公式如下：

其中，为什么偏移量Z的公式是这样定义呢？
可以看TensorRT量化第二课：对称量化与非对称量化的2.3.2 偏移量Z

代码

import numpy as np

def saturete(x, int_max, int_min):
    return np.clip(x, int_min, int_max)

def scale_z_cal(x, int_max, int_min):
    scale = (x.max() - x.min()) / (int_max - int_min)
    z = int_max - np.round((x.max() / scale))
    return scale, z

def quant_float_data(x, scale, z, int_max, int_min):
    xq = saturete(np.round(x/scale + z), int_max, int_min)
    return xq

def dequant_data(xq, scale, z):
    x = ((xq - z)*scale).astype('float32')
    return x

if __name__ == "__main__":
    np.random.seed(1)
    data_float32 = np.random.randn(3).astype('float32')
    int_max = 127
    int_min = -128
    print(f"input = {data_float32}")

    scale, z = scale_z_cal(data_float32, int_max, int_min)
    print(f"scale = {scale}")
    print(f"z = {z}")
    data_int8 = quant_float_data(data_float32, scale, z, int_max, int_min)
    print(f"quant_result = {data_int8}")
    data_dequant_float = dequant_data(data_int8, scale, z)
    print(f"dequant_result = {data_dequant_float}")
    
    print(f"diff = {data_dequant_float - data_float32}")

输出如下：

input = [ 1.6243454 -0.6117564 -0.5281718]
scale = 0.008769026924582089
z = -58.0
quant_result = [ 127. -128. -118.]
dequant_result = [ 1.62227    -0.6138319  -0.52614164]
diff = [-0.00207543 -0.00207549  0.00203013]

首先输入数组不变为[ 1.6243454 -0.6117564 -0.5281718]，还是需要将其量化到int8范围即[-128 127]，scale还是0.008769，z根据公式计算为-58，量化后的结果为[127 -128 -118]，反量化后的结果为[ 1.62227 -0.6138319 -0.52614164]，偏差为[-0.00207543 -0.00207549 0.00203013]，可以看到加入了Z偏移量后的误差明显减小了。

通过引入偏移量Z，我们可以将量化后的数值范围向中心偏移，从而在整个量化数值范围内分布得更加均匀，减小了误差得积累。虽然最终仍然会有截断操作，但是这种偏移可以在整个数值分布上起到更好得平衡作用，从而减小了误差的影响。

1.3 对称量化

相关知识

对称量化是一种量化方法，其中量化步长在正负之间对称，即使得所有值域范围内的数据点都在对称轴的两侧，这样可以避免出现由于量化导致的误差。

对称量化即使用一个映射公式将输入数据映射到[-127,127]的范围内映射公式需要保证原始的输入数据中的零点通过映射公式后仍然对应[-127,127] 区间的零点。

在之前的非对称量化中我们通过引入偏移量Z的方式解决量化过程中值域截断的问题，那么还有没有其它的方式呢？
还是考虑原始数组[1.6243454 -0.6117564 -0.5281718]，需要将其量化到int8范围即[-128,127]，考虑对称量化，我们在原始数组中虚拟添加一个值，该值的大小为原始数组R中绝对值最大值的那个数的相反数，为了实现对称嘛，例如上述数组中添加的值就是-1.6243454，那么现在的输入数组就变成了[-1.6243454 -0.6117564 -0.5281718 1.6243454]，同时考虑对称，我们将其量化到[-127,127]范围内(实际工程量化用的时候不会考虑-128)，对称量化的计算公式如下：

代码

import numpy as np

def saturete(x):
    return np.clip(x, -127, 127)

def scale_cal(x):
    max_val = np.max(np.abs(x))
    return max_val / 127

def quant_float_data(x, scale):
    xq = saturete(np.round(x/scale))
    return xq

def dequant_data(xq, scale):
    x = (xq * scale).astype('float32')
    return x

if __name__ == "__main__":
    np.random.seed(1)
    data_float32 = np.random.randn(3).astype('float32')
    print(f"input = {data_float32}")

    scale = scale_cal(data_float32)
    print(f"scale = {scale}")

    data_int8 = quant_float_data(data_float32, scale)
    print(f"quant_result = {data_int8}")
    data_dequant_float = dequant_data(data_int8, scale)
    print(f"dequant_result = {data_dequant_float}")

    print(f"diff = {data_dequant_float - data_float32}")

输出如下：

input = [ 1.6243454 -0.6117564 -0.5281718]
scale = 0.012790121431425801
quant_result = [127. -48. -41.]
dequant_result = [ 1.6243454 -0.6139258 -0.524395 ]   
diff = [ 0.         -0.00216943  0.00377679]

对称量化方法不用计算偏移量Z，计算量小，是一种非饱和量化。在对称量化中还存在一个问题，比如目前原始数组中有1000个点分布在[-1,1]之间，突然有个离散点分布在100处，此时做对称量化时Scale会被调整得很大，使得上下限超出[-127,127]的范围，从而导致量化误差增大，对精度的影响也会相应增大。

因此，在对称量化中，需要谨慎处理数据中的极端值，以免对量化精度造成不利影响。因此，需要动态选择范围来去除离散点，让max的选取更加的合理。

1.4 对称量化 vs 非对称量化

对称量化的优点：

• 没有偏移量，可以降低计算量
• 分布在正负半轴的权值数值均可被充分利用，具有更高的利用率；
• 对于深度学习模型，可以使用int8类型的乘法指令进行计算，加快运算速度；
• 能够有效的缓解权值分布在不同范围内的问题。

对称量化的缺点：

• 对于数据分布在0点附近的情况，量化的位数可能不够；
• 数据分布的范围过于分散，如果缺乏优秀的统计方法和规律，会导致量化效果不佳。

非对称量化的优点：

• 通过偏移量可以保证量化数据分布在非负数范围内，可以使得分辨率更高；
• 适合数据分布范围比较集中的情况。

非对称量化的缺点：

• 对于偏移量的计算需要额外的存储空间，增加了内存占用；
• 偏移量计算需要加减运算，会增加运算的复杂度；
• 对于深度学习模型，要使用int8类型的乘法指令进行计算，需要进行额外的偏置操作，增加了运算量。

在tensorRT中的INT8量化使用的方法就是对称量化。

参考链接：
TensorRT量化第二课：对称量化与非对称量化