第三部分 命题逻辑的推理理论

目录

主要内容

自然推理系统P

 例1 判断下面推理是否正确

推理定律——重言蕴涵式 

推理规则(与推理定律差不多)

例2 构造下面推理的证明：

附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式

例3 构造下面推理的证明

归谬法 (反证法) 

 例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p

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主要内容

推理的形式结构

推理的正确与错误

推理的形式结构

判断推理正确的方法

推理定律

自然推理系统P

形式系统的定义与分类

自然推理系统 P

在 P 中构造证明 : 直接证明法、附加前提证明法、归谬法

定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧ Ak 为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论

定理 3.1 由命题公式 A 1 , A 2 , …, A k 推 B 的推理正确当且仅当 A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k → B 为重言式

注意 : 推理正确不能保证结论一定正确

判断推理是否正确的方法 :

真值表法

等值演算法

主析取范式法

 例1 判断下面推理是否正确

(1) 若今天是 1 号，则明天是 5 号 . 今天是 1 号 . 所以 , 明天是 5 号 .

(2) 若今天是 1 号，则明天是 5 号 . 明天是 5 号 . 所以 , 今天是 1 号 .

解

设 p ：今天是 1 号， q ：明天是 5 号 .

(1) 推理的形式结构 : ( p → q ) ∧ p → q

用等值演算法

( p → q ) ∧ p → q

⇔ ¬ (( ¬ p ∨ q ) ∧ p ) ∨ q

⇔ ¬ p ∨¬ q ∨ q ⇔ 1

由定理 3.1 可知推理正确

(2) 推理的形式结构 : ( p → q ) ∧ q → p

用主析取范式法

( p → q ) ∧ q → p

⇔ ( ¬ p ∨ q ) ∧ q → p

⇔ ¬ (( ¬ p ∨ q ) ∧ q ) ∨ p

⇔ ¬ q ∨ p

⇔ ( ¬ p ∧¬ q ) ∨ ( p ∧¬ q ) ∨ ( p ∧¬ q ) ∨ ( p ∧ q )

⇔ m 0 ∨ m 2 ∨ m 3

结果不含 m 1 , 故 01 是成假赋值，所以推理不正确

推理定律——重言蕴涵式 

附加律

          A ⇒ (A ∨ B )

化简律

          (A∧ B ) ⇒ A

假言推理

          (A → B ) ∧ A ⇒ B

拒取式

          (A → B ) ∧¬ B ⇒ ¬ A

析取三段论

          (A ∨ B ) ∧¬ B ⇒ A

假言三段论

          (A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C )

等价三段论

          (A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C )

构造性二难

          (A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D )

构造性二难 ( 特殊形式 )

          (A → B ) ∧ ( ¬ A → B ) ⇒ B

破坏性二难

          (A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( ¬ B ∨¬ D ) ⇒ ( ¬ A ∨¬ C )

每个等值式可产生两个推理定律

如

由 A ⇔¬¬ A 可产生 A ⇒¬¬ A 和 ¬¬ A ⇒ A

 定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成：

(1) 非空的字母表，记作 A ( I ) .

(2) A ( I ) 中符号构造的合式公式集，记作 E ( I )

(3) E ( I ) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 A X ( I ) .

(4) 推理规则集，记作 R ( I ) .

记 I =< A ( I ), E ( I ), A X ( I ), R ( I )>, 其中 < A ( I ), E ( I ), A X ( I ), R ( I )> 是 I 的

形式语言系统 , < A ( I ), E ( I ), A X ( I ), R ( I )> 是 I 的 形式演算系统 .

自然推理系统 : 无公理 , 即 A X ( I )= ∅

公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式 , 称作 定理

我认为这里不是很重要

定义 3.3 自然推理系统

P 定义如下 :

1. 字母表

(1) 命题变项符号： p , q , r , …, p i , q i , r i , …

(2) 联结词符号： ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔

(3) 括号与逗号： (, ), ，

2. 合式公式

推理规则(与推理定律差不多)

(1) 前提引入规则

(2) 结论引入规则

(3) 置换规则

(4) 假言推理规则

        A→ B

        A

 ——————

        ∴B

(5) 附加规则

        A

——————

     ∴A ∨ B

(6) 化简规则

        A∧ B

——————

        ∴ A

(7) 拒取式规则

        A→ B

        ¬B

——————

        ∴¬ A

(8) 假言三段论规则

        A→B        

        B→ C

——————

      ∴A → C

(9) 析取三段论规则

        A∨ B

        ¬B

——————

        ∴A

(10) 构造性二难推理规则

        A→ B

        C→ D

        A∨ C

——————

      ∴B ∨ D

(11) 破坏性二难推理规则

        A→ B

        C→ D

     ¬B ∨¬ D

——————

     ∴¬ A ∨¬ C

(12) 合取引入规则

        A

        B

——————

    ∴A ∧ C

例2 构造下面推理的证明：

若明天是星期一或星期三，我明天就有课 . 若我明天有

课，今天必备课 . 我今天没备课 . 所以，明天不是星期一、

也不是星期三 .

解

(1) 设命题并符号化

设 p ：明天是星期一， q ：明天是星期三，

r ：我明天有课， s ：我今天备课

(2) 写出证明的形式结构

前提： ( p ∨ q ) → r , r → s , ¬ s

结论： ¬ p ∧¬ q

(3) 证明

① r →s        前提引入

② ¬s        前提引入

③ ¬ r         ①②拒取式

④ ( p ∨ q ) →r         前提引入

⑤ ¬ ( p ∨ q)         ③④拒取式

⑥ ¬ p ∧¬q         ⑤置换规则

附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式

欲证

前提： A 1 , A 2 , …, A k

结论： C → B

等价地证明

前提： A 1 , A 2 , …, A k , C

结论：B

将C也当作条件

理由：

( A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ) → ( C → B )

⇔ ¬ ( A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ) ∨ ( ¬ C ∨ B )

⇔ ¬ ( A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ∧ C ) ∨ B

⇔ ( A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ∧ C ) → B

例3 构造下面推理的证明

2 是素数或合数 . 若 2 是素数，则 是无理数 . 若 是无理

数，则 4 不是素数 . 所以，如果 4 是素数，则 2 是合数 .

解 用附加前提证明法构造证明

(1) 设 p ： 2 是素数， q ： 2 是合数，

r ： 是无理数， s ： 4 是素数

(2) 推理的形式结构

前提： p ∨ q , p → r , r →¬ s

结论： s → q

(3) 证明

① s          附加前提引入

② p →r          前提引入

③ r →¬ s   前提引入

④ p→¬s        ②③假言三段论

⑤ ¬p          ①④拒取式

⑥ p ∨q          前提引入

⑦ q          ⑤⑥析取三段论

归谬法 (反证法) 

欲证

前提： A 1 , A 2 , … , A k

结论： B

做法

在前提中加入 ¬ B ，推出矛盾

理由：

A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k → B

⇔ ¬ ( A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ) ∨ B

⇔ ¬ ( A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ∧¬ B )

⇔ ¬ ( A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ∧¬ B ) ∨ 0

⇔ A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ A k ∧¬ B → 0

 例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p

结论： ¬ q

证明 用归缪法

① q         结论否定引入

② r → s         前提引入

③ ¬ s         前提引入

④ ¬ r         ②③拒取式

⑤ ¬ ( p ∧ q ) ∨ r         前提引入

⑥ ¬ ( p ∧ q)         ④⑤析取三段论

⑦ ¬ p ∨¬ q         ⑥置换

⑧ ¬ p         ①⑦析取三段论

⑨ p         前提引入

⑩¬ p ∧ p         ⑧⑨合取