从面积到数列 探寻数学本质

从面积到数列  探寻数学本质——例谈思维力在专题研究中的提撕之三

几何图形面积计算，贯穿小学学习阶段。几何知识内容学习有助于学生空间想象能力发展，有利于学生直观想象能力培养，更是由特殊到一般逻辑思维能力培养的重要载体。

几何图形面积学习是从正方形面积开始的。起初是认识面积单位，当一个正方形边长是一米的时候我们就说这个正方形的面积是1㎡。同理，认识一平方分米，一平方厘米。

然后通过度量的方式学习正方形与长方形的面积公式，即一排有几个单位平方的小正方形，一共有几排。通过相同的几个加数的和，可以用乘法计算的理解，得出用乘法计算的公式。

在学生充分理解正方形与长方形面积计算的理解上。教材才引入了平行四边形面积的计算。平行四边形面积的理解是通过切割的方法，转化为长方形。再利用长方形的面积计算公式长乘宽计算出面积。在进行平行四边形图形切割转化的过程当中，学生充分体验到，平行四边形的原有大小面积没有发生改变。改变的仅仅是它的外形形状。而改变成长方形之后，长方形的宽就是原来平行四边形中的一条高。也可以引领孩子们形象地理解为进行切割过程当中的切口的长度。这是整个转化过程当中的重点与难点。

当学生理解了转化的本质，以及平行四边形的高与长方形的宽之间的本质联系。平行四边形的面积计算，学生就会迎刃而解，水到渠成。

有了平行四边形面积计算的功底，三角形面积计算就容易多了。无非就是一分为二罢了。这里不做讨论。

当学生对平行四边形面积计算，有了深刻领悟之后。梯形面积计算便摆着了学生面前。

事实上，在学生学习平行四边形面积之前。教材充分加强了学生对平行四边形表象的认识。例如把一个平行四边形用剪刀剪一次，变成两个三角形，或者一个梯形和一个三角形，或者两个平行四边形，或者两个梯形等。

在学习梯形面积计算公式之前。可以把此部分内容作为导入部分。尤其将一个平行四边形分成两个完全一样的梯形的认识与领悟。同时可以把平行四边形分成两个完全一样的三角形，作为思维引导的一个部分。通过引导提示让孩子发现。可以把一个平行四边形分成两个完全一样的三角形。从而得出三角形面积计算公式。那么是不是可以把两个完全一样的梯形组成一个图形，并且是我们已经学习过的面积计算公式的已知图形。

通过提示，引导，让学生动手操作。学生应该慢慢可以感悟到，两个完全一样的梯形，通过倒放其中一个可以组成一个平行四边形。于是，从而得出梯形的面积其实就是一个平行四边形的面积的一半。只不过这个平行四边形的底已经变成上底与下底之和了。我们就可以得出梯形面积计算公式，S=(上底+下底)×高÷2。

在梯形面积计算公式的理解上。此时把梯形换成实物图形。例如一堆木材，最底层9根，第二层7根，第三层5根，第四层3根。此时，需要求木材的根数一共有多少根，可以怎样求呢？从图的表象来看，可以列式为3+5+7+9。

当我们引导孩子回到梯形面积计算的角度上来。学生可以发挥想象，借用一组同样的木材堆，则可以组成梯形。于是可以得到木材根数的计算公式：S=(3+9)×4÷2。

接着将这个木材根数的计算公式与梯形面积计算公式进行比对，可以发现：最底层木材的根数相当于下底，最上层的木头根数相当于上底，而木材的层数相当于梯形的高。换言之就是梯形的面积计算公式与梯形堆积的木材根数的计算公式是一致的。

当然，我们学生可能会发现用梯形面积计算公式来计算，没有直接用加法来算简单。这时老师可以引导的学生意识到当木材堆的层数比较多的时候，利用公式来算就显得简便多了。

当学生理解公式的价值之后，我们可以再引导学生进行数学抽象，抛开图形与实物基础。直接出示：1+3+5+7+9+……+99

当然，学生可以借助梯形图形模型进行想像。逐渐得出计算公式：S=(1+99)×50÷2。在这里，公式当中50的理解最为重要，也是难点。在梯形当中，它是梯形的高。在木材堆中它是木材的层数。而此刻它就应该是加数的个数，即数的项数。

最后可以让学生理解像1，3，5，7……99，每相邻两项的差都是相等的一列数，叫做等差数列。而要求所有的数的和，就是求等差数列的和。即：S=(首项+末项)×项数÷2。