t 检验

1、 t 检验的思路：

啤酒，主要原料是大麦，啤酒厂肯定是希望尽力提高亩产。比如，健力士公司有下面两块麦田：

左边的麦田采用传统A工艺进行种植，平均每株大麦可以结100粒穗子。而右边的麦田采用改进过的B工艺种植，健力士公司想知道“B工艺是否提高了产量”。为了节约成本、减小损耗，抠门的健力士公司从B工艺的麦田中采样了5株大麦，样本均值为120粒穗子。然后把难题抛给了戈斯特。似乎直观看来产量提高了，毕竟均值增加了20%，可是戈斯特想得更多一些。

2、戈斯特的分析：

戈斯特提出一个假设检验：

• 假设：B工艺没有提高产量，即AB下的麦穗都是同一个分布

• 检验：看看在此假设下， 发生的概率高不高

已知的数据是，A工艺下的单株麦穗的个数服从,标准差未知的正态分布：

而B工艺下的麦田的样本均值 ,样本数为5株，早在学习概率论知识时我们就知道，不同的标准差对应的正态分布的图像是不同的：

标准差越大，说明数据越分散，那么曲线的跨度就越大，曲线显得更加‘矮胖’；反之标准差越小，说明数据越集中，跨度越小，曲线显得更加‘高瘦’。

X如果服从正态分布,这里,跨度不大，采样5个点使其，图像如下：

由此可见，的概率非常低，即AB下的麦穗是同一个分布的可能性不大，我们有很大把握可以认为B工艺真正提高了产量。

而如果X服从的是跨度更大的正态分布，采样五个点使其的图像如下（为了演示，正态分布的参数选的不是很严谨）：

这样的正态分布下，的概率并不低，即AB下的麦穗还是可能为同一个分布的，我们没十足的把握认为B工艺提高了产量。因此，看起来不能单纯依靠，或许除以样本标准差 s可以消除跨度的影响：

因为A工艺的 我们不清楚，但是我们假设AB同分布，所以直接使用了样本标准差 s。当然，样本数 n 也会影响结果。比如说，在 n =1000 下，得到 ，那么根据大数定理，我们不用算了，基本上可以认为“B工艺提高了产量”。

所以，戈斯特认为应该综合考虑样本均值、样本方差 s 和样本数 n ，给出了一个统计量t值：

该统计量越大说明AB工艺导致的差别越大，越有可能说明“B工艺提高了产量”。

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3、t分布

对于t值：，对应的概率密度函数，也就是t分布为：

其中，也叫做自由度。而 为伽马函数。

接近于正态分布 N(0,1)（灰色曲线表示正态分布N(0,1)，下面是的t分布

而t值，实际上对应的就是横坐标的值，比如说t值等于4：

t=4之后的曲线下面积其实就是P值:

所以，我们知道t值之后，就可以根据 以及要求的P值，查出当前的t值是否会拒绝我们的假设。

举个例子，比如本文中的AB工艺下的数据为：

计算出来：

服从的t分布：

如果我们要求 5% 的显著水平的话(下两篇讲解P值和置信区间)，那么就可以拒绝“B工艺没有提高产量”这个假设了，也就是说，B工艺使得产量提高了。

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转载：https://blog.csdn.net/Tonywu2018/article/details/83897806