2023.12.10力扣每日一题——爬楼梯

题目来源

力扣2023.12.10每日一题；题序：70

我的题解

暴力法（递归实现）

通过穷举所有可能的步骤来解决问题。因为可以走1个或者2个台阶，所以要求到达n阶的所有可能方式，就是求到达n-1和n-2阶台阶的所有可能之和。因此递归结束条件为：n<=2，递归方程是 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

时间复杂度：O($2^n$)，其中n就是台阶的阶数。
空间复杂度：O(n)。栈空间。

public int climbStairs(int n) {
  if(n<=2){
        return n;
    }
    return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
}

动态规划

这道题也可以采用动态规划来做。用f(x)表示爬到x阶台阶的方案数，由于可以跨一阶台阶或者两阶台阶，所以可以的得出转移方程为：
$f(x)=f(x-1)+f(x-2)$
也就是想要知道爬x阶台阶的方案数，可以根据爬x-1阶和x-2阶的方案数来推算出。
边界考虑：当x=0时，可以看做只有一种方案（不爬），所以f(0)=1；从0阶到1阶的方案数也只有一种（爬一阶），f(1)=1。由此得出边界条件。

时间复杂度：O(n)，其中n是台阶数。
空间复杂度：O(n)，其中 n是台阶数。

public int climbStairs(int n) {
 if(n<=2){
        return n;
    }
    int[] dp=new int[n+1];
    dp[0]=1;
    dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

动态规划（优化空间）

可以发现动态规划是状态只和x-1和x-2上两个状态相关，因此我们可以使用两个常量来代替dp表，以此优化空间。

时间复杂度：O(n)，其中n是台阶数。
空间复杂度：O(1)，其中 n是台阶数。

public int climbStairs(int n) {
     if(n<=2){
         return n;
     }

     int dp_0=1;
     int dp_1=1;
     for(int i=2;i<=n;i++){
         int t=dp_0+dp_1;
         dp_0=dp_1;
         dp_1=t;
     }
     return dp_1;
 }

!!!其他解法

• 除了以上方法之外，还存在数学解法，具体解题方案，独立去探索，这里不在赘述数学解法

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