借助平面几何图形中的不等关系求离心率的范围

借助平面几何图形中的不等关系求离心率的范围

方法三 借助平面几何图形中的不等关系

解题步骤：

第 一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三 边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，

第二步 将这些量结合曲线的几何性质用 进行表示，进而得到不等式，

第三步 解不等式，确定离心率的范围.

【例】已知椭圆的中心在 ,右焦点为 ，右准线为 ，若在 上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.

B.

C.

D.
【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.

如图，由于线段的垂直平分线经过，则，

利用平面几何折线段大于等于直线段（中心到准线之间的距离）

即中心到准线的距离

即，，

又因为椭圆的离心率小于1

所以选A.

【总结】离心率的范围实质 为一个不等式 关系，如何构建 这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.