算法题中常用数学概念、公式、方法汇总（其四：组合学）

组合学

加法原理

加法原理是指做一件事情，完成它有n类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，以此类推，第n类方式有Mn种方法，那么完成这件事情共有M1 + M2 + ... + Mn种方法。

乘法原理

乘法原理是指做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，以此类推，做第n步有Mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N = M1 × M2 × M3 × ... × Mn 种不同的方法。

排列组合

排列（arrangement/permutation）指的是，从给定个数的元素中取出指定个数的元素并进行排序的过程。

组合（combination）指的是，从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素的过程，不需要考虑排序问题。

考虑从n个小球中取出m个小球的问题，若

• 这些小球两两之间是不同的（比如存在编号），那么取出的方式记为$A_n^m$或$A(n,m)$，存在公式

$$A_n^m=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

• 这些小球两两之间是全同的，那么取出的方式记为$C_n^m$或$C(n,m)$，存在公式

$$C_n^m=\frac{n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times (n-m+1)}{m\times (m-1)\times (m-2)\times ...\times 2\times 1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{A_n^m}{m!}$$

组合恒等式

对于组合而言，存在以下恒等式成立

$$C_n^m=C_n^{n-m}$$
$$C_n^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}$$
$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}+C_n^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n$$

其中最后一个恒等式可以用二项式定理求证。

二项式定理

二项式定理是指，两个数之和的整数次幂可以展开为两整数的多项式之和，具体形式如下

$$(x+y{)}^n=C_n^0{x}^0{y}^n+C_n^1{x}^1{y}^{n-1}+C_n^2{x}^2{y}^{n-2}+...C_n^{n-1}{x}^{n-1}{y}^1+C_n^n{x}^n{y}^0=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i{y}^{n-i}$$

代入$x=1$和$y=1$，即可得到式子$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}+C_n^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i=2^n$$

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