信号与线性系统翻转课堂笔记13——拉普拉斯(逆)变换及其性质

信号与线性系统翻转课堂笔记13——拉普拉斯(逆)变换及其性质

The Flipped Classroom13 of Signals and Linear Systems

对应教材:《信号与线性系统分析(第五版)》高等教育出版社,吴大正著

一、要点

(1)双边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换以及它们与傅里叶变换的关系;
(2)单边和双边拉普拉斯变换的收敛域;
(3)拉普拉斯变换的性质;
(4,重点)熟练掌握利用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换;
(5,重点)常用信号的拉普拉斯变换及其逆变换,需要熟记δ(t)、ε(t)、tε(t)、e^(-αt) ε(t)、 sin⁡( t)ε(t)、 cos⁡(t)ε(t)等信号的拉普拉斯变换及其逆变换。

二、问题与解答

(1)双边拉普拉斯变换与傅里叶变换之间具有何种联系?分别针对因果信号、反因果信号、双边信号,讨论双边拉普拉斯变换和傅里叶是否存在(收敛)的可能性有何不同?为什么在表述双边拉普拉斯变换的时候,必须同时给出表达式和收敛域?
(2)单边拉普拉斯变换定义的积分下限为什么应该是0-?为什么在表述单边拉普拉斯变换时,不需要另行标明收敛域?为什么在分析和设计线性系统的时候,更多采用(单边)拉普拉斯变换而不是傅里叶变换?
(3)求解习题5.4,并说明分别利用了拉普拉斯变换的哪些性质。
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(4)求解习题5.6,然后分别求F(s)的拉普拉斯逆变换f(t),并直接求f(t)在t=0+和∞的值,验证初值定理和终值定理。
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(5)以习题5.8(3)、(4)、(5)为例,说明利用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换的基本方法和步骤。

1、双边拉普拉斯变换及其收敛域

双边拉普拉斯变换与傅里叶变换之间具有何种联系?分别针对因果信号、反因果信号、双边信号,讨论双边拉普拉斯变换和傅里叶是否存在(收敛)的可能性有何不同?为什么在表述双边拉普拉斯变换的时候,必须同时给出表达式和收敛域?


傅里叶变换只能对能量有限的信号进行变换(也就是可以收敛的信号),无法对能量无限的信号进行变换(无法收敛的信号)。拉普拉斯变换就是在傅里叶变换公式中乘以衰减因子,使得能量无限的信号也能进行时频变换。
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以上图双边函数为例,当β<α时,Fb1(s)和Fb2(s)没有共同的收敛域,其双边拉普拉斯变换不存在,所以表示双边拉普拉斯变换的时候,必须同时给出表达式和收敛域。

2、单边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯变换定义的积分下限为什么应该是0-?为什么在表述单边拉普拉斯变换时,不需要另行标明收敛域?为什么在分析和设计线性系统的时候,更多采用(单边)拉普拉斯变换而不是傅里叶变换?


(1)积分的下限取为0-,以表明在积分区间内包括了集中于t = 0的任何冲激或高阶奇异函数。
(2)单边拉普拉斯变换是把所有的函数当作因果信号来处理,与f(t)是一一对应的关系,不用考虑反因果信号、双边信号与其表达式相同的情形。
(3)傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上;拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量,因此更灵活,适用范围更广。有的时候傅里叶变换不存在。并且有些时候,不需要关注t小于0时的情况。因此,分析和设计线性系统都是因果系统,用单边拉普拉变换计算更方便。

3、拉普拉斯变换性质

求解习题5.4,并说明分别利用了拉普拉斯变换的哪些性质。
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拉普拉斯变换性质见“反思总结”部分
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4、求初值和终值

求解习题5.6,然后分别求F(s)的拉普拉斯逆变换f(t),并直接求f(t)在t=0+和∞的值,验证初值定理和终值定理。
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5、部分分式展开法求拉普拉斯逆变换

以习题5.8(3)、(4)、(5)为例,说明利用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换的基本方法和步骤。

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三、反思总结

拉普拉斯变换性质:
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