第四章 多项式

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title: 第四章 多项式
category: 笔记
date: 2019/10/06
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多项式(多项式是个函数)：

次数:

如果所有的系数都为，那么p的次数就是

根

对于多项式如果数满足则称为的根。

4.1命题：

设是次多项式，令，则是的根当且仅当存在次多项式使得

4.2.

4.3推论

设则

4.4推论

设如果

即恒等于的多项式，系数全为.

4.5引理：带余除法(Division Algorithm):

设并且则存在多项式使得并且

4.6 .

4.2 复系数

4.7代数学基本定理(Fundamental Theorem of Algebra):

每个不是常数的复系数多项式都有根。

4.8推论：

如果是非常数多项式，则可以唯一分解(除因子的次序之外)成如下形式：

4.9

4.3实系数

关于复数的知识：

,a称为实部(real part),记为Re z,b为虚部(imaginary part),记为Im z.
对于任意复数都有：

复数的复共轭(complex conjugate),记为,定义为：
复数的绝对值(absolute value),记为,定义为:

实部、虚部、绝对值和复共轭具有以下性质：
1.实部的可加性(additivity of real part):对所有

2.虚部的可加性(additivity of imaginary part):对所有

3.:对于所有

4.:对于所有

5.复共轭的可加性(additivity of complex conjugate):

6.复共轭的可乘性(multiplicativity of complex conjugate):对于所有

7.共轭的共轭(conjugate of conjugate):对所有;

8.绝对值的可乘性(multiplicativity of absolute value):对所有

4.10命题：

设是式系数多项式。如果是的根，则也是的根。

4.11命题：

设,则存在形如

4.12 .的因式分解当且仅当

4.13

4.14定理：

如果是非常数多项式，则可以唯一(除因子的次序之外)分解成如下形式。

其中,并且对每个都有