在以原点为圆心、以 D 0 D_{0} D0 为半径的圆内,无衰减地通过所有频率,而在该圆外所有频率都不可以通过的二维低通滤波器,称为理想低通滤波器 (ILPF)
H ( u , v ) = { 1 , D ( u , v ) ⩽ D 0 0 , D ( u , v ) > D 0 H(u,v)=\begin{cases}1,\quad&D(u,v){\leqslant}D_0\\0,\quad&D(u,v){>}D_0\end{cases} H(u,v)={1,0,D(u,v)⩽D0D(u,v)>D0
其中,在 H ( u , v ) = 1 H(u,v)=1 H(u,v)=1 和 H ( u , v ) = 0 H(u,v)=0 H(u,v)=0 之间的过渡点称为截止频率, D 0 D_{0} D0是一个正常数, D ( u , ν ) D(u,\nu) D(u,ν)是频率域中点 ( u , ν ) (u,\nu) (u,ν)与频率矩形中心的距离,即
D ( u , v ) = [ ( u − P / 2 ) 2 + ( v − Q / 2 ) 2 ] 1 / 2 D(u,v)=\biggl[(u-P/2)^{2}+(v-Q/2)^{2}\biggr]^{1/2} D(u,v)=[(u−P/2)2+(v−Q/2)2]1/2
但是理想低通滤波器很难使用电子元器件实现且因为理想高通滤波器具有陡峭的变化,则会使滤波图像产生“振铃现象”
截止频率位于距原点 D 0 D_{0} D0 处的 n 阶布特沃斯低通滤波器(BLPF) 的传递函数定义为
H ( u , v ) = 1 1 + [ D ( u , v ) / D 0 ] 2 n H\left(u,v\right)=\frac{1}{1+\left[D(u,v)/D_{0}\right]^{2n}} H(u,v)=1+[D(u,v)/D0]2n1
其中在阶数不变的情况下截止频率 D 0 D_0 D0降低会使巴特沃斯滤波器的频率响应更加平缓。对于在截止频率 D 0 D_0 D0不变的情况下,提高n,越有可能产生振铃效应
H ( u , v ) = e − D 2 ( u , v ) / 2 D 0 2 H(u,v)=\mathrm{e}^{-D^{2}(u,v)/2D_{0}^{2}} H(u,v)=e−D2(u,v)/2D02
其中, D 0 D_{0} D0是截止频率。当 D ( u , ν ) = D 0 D(u,\nu)=D_{0} D(u,ν)=D0时,GLPF 下降到其最大值的 0.607 处。
其中相应低通滤波器所对应的高通滤波器为 1 − 相应低通滤波器 1-\text{相应低通滤波器} 1−相应低通滤波器