最大子段和
给出一个长度为 n n n 的序列 a a a,选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
第一行是一个整数,表示序列的长度 n n n。
第二行有 n n n 个整数,第 i i i 个整数表示序列的第 i i i 个数字 a i a_i ai。
输出一行一个整数表示答案。
7
2 -4 3 -1 2 -4 3
4
选取 [ 3 , 5 ] [3, 5] [3,5] 子段 { 3 , − 1 , 2 } \{3, -1, 2\} {3,−1,2},其和为 4 4 4。
求序列中连续且非空的一段,使得这段和最大,求和的最大值可以使用动态规划的思想来处理。
f [ i ] f[i] f[i]表示所有以 i i i为右端点的连续子段和的最大值。
最终答案为所有 f [ i ] f[i] f[i]的最大值。
从最后一步分析,按照连续子段的长度进行分类:
f [ i ] f[i] f[i]应取应取以上情况的最大值。
不难看出,从第 2 2 2项开始,每一项都加上了 a [ i ] a[i] a[i],把 a [ i ] a[i] a[i]提取出来,就变成求 { a [ i − 1 ] , a [ i − 2 ] + a [ i − 1 ] , . . . , a [ 1 ] + a [ 2 ] + . . . + a [ i − 1 ] } \{a[i-1], a[i-2]+a[i-1],...,a[1]+a[2]+...+a[i-1]\} {a[i−1],a[i−2]+a[i−1],...,a[1]+a[2]+...+a[i−1]}的最大值再加上 a [ i ] a[i] a[i],即 f [ i − 1 ] + a [ i ] f[i-1]+a[i] f[i−1]+a[i]。因此 f [ i ] = m a x { a [ i ] , f [ i − 1 ] + a [ i ] } f[i]=max\{a[i],f[i-1]+a[i]\} f[i]=max{a[i],f[i−1]+a[i]}
f [ 0 ] f[0] f[0]表示前 0 0 0项和的最大值,应尽可能小,由于序列中每一项的范围是 − 1 0 4 ≤ a i ≤ 1 0 4 -10^4 \leq a_i \leq 10^4 −104≤ai≤104,存在负数,因此可以让 f [ 0 ] = − 1 e 9 f[0]=-1e9 f[0]=−1e9。
#include
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int a[N], f[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
//初始状态
f[0] = -1e9;
int ans = -1e9;
//状态计算
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = max(a[i], f[i - 1] + a[i]);
ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans;
return 0;
}
根据状态转移方程, f [ i ] = m a x { a [ i ] , f [ i − 1 ] + a [ i ] } f[i]=max\{a[i],f[i-1]+a[i]\} f[i]=max{a[i],f[i−1]+a[i]},可以发现 f [ i ] f[i] f[i]只与 f [ i − 1 ] f[i-1] f[i−1]相关,因此不需要用数组存储所有状态,只用一个变量滚动存储即可。
#include
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int a[N];
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
//初始状态
int f = -1e9, ans = -1e9;
//状态计算
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f = max(a[i], f + a[i]);
ans = max(ans, f);
}
cout << ans;
return 0;
}