算法学习系列（十四）：并查集

引言

这个并查集以代码短小并且精悍的特点，在算法竞赛和面试中特别容易出，对于面试而言，肯定不会让你去写一两百行的代码，一般出的都是那种比较短的，而且还不好想考验思维的那种题，那并查集就将这两点全占了，所以重要性很大，而且竞赛的话也就是将多个知识点合并起来考察，这个也很可能成为一个点，所以话不多说就开始吧。

一、并查集概念

• 并查集主要有两个作用：
  1.查询两个元素是否在同一集合中，时间复杂度近乎O(1)
  2.将两个集合合并

• 初始化思路：首先有多个元素，它们最初每个集合只有它们自己，有个p[N]数组，p[i]代表 i 号结点的父结点的下标，p [i] = i

• 合并思路：先查询它们各自的父结点a,b，然后让p [a] = b 意为a的父亲为b这样a所在的集合就与b所在的集合合并了，如下图所示
  

• 查询思路：查询自己的父结点是不是根结点，如果是返回，不是则继续递归再次查找父结点的父结点，最后返回根结点，这个是通过递归实现的，这里有个路径压缩的过程，就是最后一个是根结点就会返回，那么就把根结点赋给倒数第三层、第四层…，也就是让每一个结点都指向根结点，类似就是下图所示
  

二、并查集模板

void init()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
}

int find(int x)  //查询编号为x的父结点
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);  //说明不是父结点，让当前结点指向父结点的父结点，也就是最终的根结点
    return p[x];  //返回父结点
}

三、例题

1.合并集合

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：
M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式
第一行输入整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式
对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。
每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105

输入样例：
4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：
Yes
No
Yes

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int p[N];  //p[i]代表i的父节点的编号
int n, m;  //n个结点，m次询问

void init()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
}

int find(int x)  //查询编号为x的父结点
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);  //说明不是父结点，让当前结点指向父结点的父结点，也就是最终的根结点 ，注意这里不能写成find(p[x])不然条件就一直没有变化
    return p[x];  //返回父结点
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    init();
    
    while(m--)
    {
        char op[2];
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);

        if(!strcmp(op, "M"))
        {
            a = find(a), b = find(b);  //找到a和b的根结点
            p[a] = b;  //让a指向b，意为a的父亲为b，那么a下的所有结点的父亲都是b
        }
        else
        {
            if(find(a) == find(b)) printf("Yes\n");  //如果两个结点的根结点相同，则在同一个集合
            else printf("No\n");
        }
    }
    
    return 0;
}

所有的用例都通过了

2.连通块中点的数量

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：
C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；

输入格式
第一行输入整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式
对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。
对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量每个结果占一行。

数据范围
1≤n,m≤105

输入样例：
5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5

输出样例：
Yes
2
3

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int p[N], cnt[N];  //来判断根结点所对应的集合的数量，只有根结点有意义
int n, m;

int find(int x)
{
    if(x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cnt[i] = 1;
    
    while(m--)
    {
        char op[5];
        int a, b;
        scanf("%s", op);
        
        if(!strcmp(op,"C"))
        {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            a = find(a), b = find(b);
            if(a == b) continue;
            p[a] = b;
            cnt[b] += cnt[a];
        }
        else if(!strcmp(op,"Q1"))
        {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            if(find(a) == find(b)) printf("Yes\n");
            else printf("No\n");
        }
        else
        {
            scanf("%d", &a);
            printf("%d\n", cnt[find(a)]);
        }
    }
    
    return 0;
}