函数与导数大题：2019年理数全国卷A题20

2019年理数全国卷A题20

已知函数 , 为 的导数，证明：

（1） 在区间 存在唯一极大值点；

（2） 有且仅有 2 个零点.

---

【解答问题1】

函数 的定义域为 .

在区间 内， 单调递减，

,

所以，当 , 在区间 内没有零点；

根据函数零点定理，在 区间内，函数 有唯一的零点.

不妨记函数 在区间 的零点为 , 则

当 , 函数 单调递增;

;

当 ,函数 单调递减;

所以，函数 在区间 存在唯一极大值点. 证明完毕.

---

【解答问题2】

∵ , ∴ ;

根据前节结论，函数 在区间内有唯一的零点 ，函数 在 区间单调递增，;

函数 在 单调递减，而 ∴ 函数 在 有唯一的零点 .

在 区间，, ∴ , ;

在 区间，, 函数 , 函数 单调递减，;

在 区间，函数 , 函数 单调递增，;

在 区间，函数 , 函数 单调递减，;

在 区间，函数 , 函数 单调递减，;

在 区间，函数 有唯一的零点；

另外，, 这是 的另一个零点；

综上所述，函数 有且仅有 2 个零点. 证明完毕.

---