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应用回归分析(7):岭回归、SST

证明 总偏差平方和 = 回归平方和 + 残差平方和_总偏差平方和 残差平方和 回归平方和-CSDN博客

7.1 简介

岭回归思想：使得MSE(\widehat{\beta }(k))的值最小！！

岭回归式为了解决多重共线性问题

想法：当自变量存在多重共线性时，|X'X|\approx 0时，设想|X'X|加上一个正常数矩阵kI，k>0,那么X'X+kI接近奇异值的程度就会变小。

应用回归分析(7):岭回归、SST_第1张图片

注意y可以标准化，也可以不标准化。如果y也标准化，则\widehat{\beta}(k)是标准化岭回归估计。

应用回归分析(7):岭回归、SST_第2张图片

7.2 岭回归的性质

应用回归分析(7):岭回归、SST_第3张图片

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先知：均方误差：

注意均方误差中只有\widehat{\theta }是随机变量哦！！！，\theta相当于常数。

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证明1：

证明2：记住就行没有证明

证明3：回归分析|笔记整理（A）——岭回归，主成分回归（上） - 知乎 (zhihu.com)

参考这个【在最后】，但是我没看懂呜呜呜呜呜 

证明4：也参考上面那个（也没看懂啊啊啊啊啊）

总之就是记住：是无偏估计，但不是线性变换，二范数和均方误差都变小了

7.3 岭迹分析

7.3.1 不同情况的岭迹分析 

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 1、\widehat{\beta _j}(0)=\widehat{\beta _j}>0,且取值较大，从古典回归分析的观点看，x_j对y有重要影响，且为正向影响

2、\widehat{\beta _j}(k)不稳定，当k从0开始增加时，\widehat{\beta _j}(k)显著下降且迅速趋于零，从岭回归的观点看，x_j对y不起重要作用，甚至可以剔除。

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3、\widehat{\beta _j}(0)=\widehat{\beta _j}>0，但很接近于0，从古典回归分析的观点看，x_j对y影响不大

4、\widehat{\beta _j}(k)不稳定，当k从0开始增加时，\widehat{\beta _j}(k)显著下降变为负值，从岭回归的观点看，x_j对y有显著影响。

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5、随着k的增加，\widehat{\beta _j}(k)迅速下降且稳定为负值，从岭回归的角度，x_j对y有重要影响，且为负向影响

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左边乱，怀疑最小二乘法。右边整齐，相信最小二乘法。

介于两者之间就要选择合适的K值

7.4 岭回归参数k的选择

7.4.1 通过岭迹图得到

见7.3 当所有的岭迹都趋于平稳时，就可以确定对应的值为k值

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7.4.2 通过方差扩大因子

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7.4.2 由残差平方和确定k值

岭估计\widehat{\beta }(k)在减小均方误差的同时增大了残差平方和，希望将岭回归的残差平方和SSE(k)的增加幅度控制在一定的限度以内，从而可以给一个大于1的c值，要求

SSE(k)<cSSE,寻找满足上述要求的最大的K值。

反正均方误差会变小是前面性质说的，岭回归为什么会使SSE变大哇？（以下是解释）

岭回归（Ridge Regression）是一种线性回归的改进方法，它通过在成本函数中引入正则化项，以解决普通线性回归中可能存在的多重共线性问题。在岭回归中，成本函数由两部分组成：回归平方和（SSR，Sum of Squared Errors）和正则化项。

成本函数（损失函数）表示为：

J(\theta) = \text{SSR} + \lambda \sum_{i=1}^{n} \theta_i^2

在岭回归中，通过引入正则化项，我们的目标是最小化成本函数。然而，当 \lambda 的值较大时，正则化项的影响变得更加显著。这可能导致在最小化成本函数的过程中，为了减小正则化项的影响，模型更倾向于减小回归平方和（SSR）部分。这就是为什么在岭回归中，相较于普通线性回归，SSE 可能会变大的原因。

【SST = SSR + SSE

\text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2  \text{SST} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2    \text{SSR} = \sum_{i=1}^{n} (\hat{y}_i - \bar{y})^2】

具体地说，当\lambda较大时，模型更倾向于选择较小的系数值，以便在考虑回归平方和和正则化项时找到一个平衡。这种情况下，虽然回归平方和可能会略微增加，但整体的成本函数可能会更小，从而提高了模型对未见数据的泛化能力。这是正则化方法的一种典型效果，它有助于防止过拟合，即在训练数据上过度拟合，而在新数据上表现不佳。

7.5 用岭回归选择变量

应用回归分析(7):岭回归、SST_第14张图片

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